2021高考数学一轮复习学案：第四章4.5第1课时和角、差角和倍角公式

§4.5　简单的三角恒等变换1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝(T(α＋β))．2．二倍角公式(1)基本公式：①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝.(2)公式变形：由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x)＝asin x＋bcos x的函数的性质？提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f (x)化成f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．3．思考求的正弦、余弦、正切公式．提示　(1)sin ＝±；(2)cos ＝±；(3)tan ＝±＝＝.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)(2)设α∈(π，2π)，则＝sin .(　×　)(3)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　×　)(4)在非直角三角形中有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C．(　√　)题组二　教材改编2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　C解析　∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝        .答案　解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝      .答案　解析　∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝－tan 10°tan 50°，∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.5．(tan 10°－)sin 40°的值为        ．答案　－1解析　(tan 10°－)·sin 40°＝·sin 40°＝·sin 40°＝·sin 40°＝－＝－＝－1.题组三　易错自纠6．(2019·衡水中学调研)已知α∈，sin α＝－，则tan等于(　　)A．－7   B．－C.   D．7答案　B解析　∵α∈，sin α＝－，∴cos α＝，∴tan α＝－.∴tan＝＝＝－.7．(多选)下面各式中，正确的是(　　)A．sin＝sin cos ＋cos B．cos ＝sin －cos cos C．cos＝cos cos ＋D．cos ＝cos －cos 答案　ABC解析　∵sin＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，∴A正确；∵cos ＝－cos ＝－cos＝sin －cos cos ，∴B正确；∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.8．化简：＝        .答案　解析　原式＝＝＝＝.9．化简：＝        .答案　4sin α解析　＝＝＝4sin α.10．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝        .答案　－解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，平方得2sin θcos θ＝，又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.方法二　∵θ∈且sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，∴tan θ＝.故tan 2θ＝＝－.第1课时　和角、差角和倍角公式 和差倍角公式的简单应用1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)A．－  B．－  C.  D.答案　A解析　因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，所以cos α＝－＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A．－  B.  C.  D．－答案　A解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.3．计算的值为        ．答案　解析　＝＝＝＝.4．(2019·全国Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为        ．答案　－4解析　∵f (x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f (t)＝－2t2－3t＋1.又函数f (t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f (t)有最小值－4.综上，f (x)的最小值为－4.思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 公式的灵活应用命题点1　角的变换例1　(1)已知sin＝，且<α<，则cos α的值为        ．答案　解析　∵sin＝，且<α<，∴<α＋<π.∴cos＝－＝－.∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝.(2)(2019·山东模拟)若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝        .答案　解析　∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.命题点2　三角函数式的变换例2　(1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝        .答案　解析　方法一　cos2＝＝(1－sin 2α)＝.方法二　cos＝cos α－sin α，所以cos2＝(cos α－sin α)2＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.(2)求值：－sin 10°＝        .答案　解析　原式＝－sin 10°＝－sin 10°·＝－sin 10°·＝－2cos 10°＝＝＝＝＝.命题点3　公式的综合应用例3　(1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为        ．答案　2解析　原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.(2)若sin x＋cos x＝，则tan＝        .答案　±解析　由sin x＋cos x＝，得2sin＝，即sin＝，所以cos＝±，所以tan＝±，即tan＝tan＝±.(3)若<α<2π，则可化简为        ．答案　－cos 解析　＝，因为π<α<2π，所以|cos α|＝cos α.所以原式＝＝.又因为π<<π，所以原式＝－cos .思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．跟踪训练　(1)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝        .答案　解析　由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.(2)计算：＝        .(用数字作答)答案　解析　＝＝＝＝.(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝，0<α<，则cos的值为        ．答案　解析　∵sin 2α＝，0<α<，∴sin αcos α＝，sin α>0，cos α>0.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，∴sin α＋cos α＝.∴cos＝＝cos α＋sin α＝.(4)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝        .答案　解析　由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.