2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第四章第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

知 识 梳 理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.

tan(α±β)＝.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos α.

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan 2α＝.

3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).

[常用结论与微点提醒]

1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).

2.cos2α＝，sin2α＝.

3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝sin.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　　)

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β

＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　)

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)

解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2.(新教材必修第一册P217T3改编)已知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

解析　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，

∴sin＝－×＋×＝－.

答案　C

3.(老教材必修4P131T4改编)已知tan＝2，则tan α＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　tan＝＝2，解得tan α＝.

答案　A

4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A.   B.   C.－   D.－

解析　由题意得cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝1－＝.

答案　B

5.(2020·揭阳一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A.   B.   C.－   D.－

解析　sin＝cos 2α＝，sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝－.

答案　D

6.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)＝(　　)

A.   B.   C.－   D.－

解析　由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°，

则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°

＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°

＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝.

答案　A

考点一　三角函数式的化简

【例1】 (1)化简：＝________.

解析　原式＝

＝

＝＝＝cos 2x.

答案　cos 2x

(2)化简：－2cos(α＋β).

解　原式＝

＝

＝

＝

＝＝.

规律方法　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

【训练1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.

(2)化简：·＝________.

解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)

＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)

＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).

(2)原式＝tan(90°－2α)·

＝··

＝··＝.

答案　(1)sin(α＋γ)　(2)

考点二　三角函数式的求值　多维探究

角度1　给值求值

【例2－1】 (1)已知x∈，tan x＝，则＝________.

(2)(2020·康杰中学联考)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为(　　)

A.＋    B.－

C.＋    D.－

解析　(1)由题意得，4sin x＝3cos x，

又sin2x＋cos2x＝1，且x∈，

解得cos x＝，sin x＝，

又＝

＝＝

＝2sin x＝2×＝.

(2)由tan α－tan β＝3，得－＝3，

即＝3.

∴sin(α－β)＝3cos αcos β.

又知α－β＝，∴cos αcos β＝.

而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，

∴sin αsin β＝－.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.

答案　(1)　(2)D

规律方法　给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

角度2　给角求值

【例2－2】 (1)＋＝(　　)

A.－4   B.4   C.－2   D.2

(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.

解析　(1)＋＝－

＝＝

＝＝＝4.

(2)原式＝·

sin 80°＝·

cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]

＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.

答案　(1)B　(2)

规律方法　给角(非特殊角)求值的三个基本思路：(1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化简分子、分母使之出现公约式，约分后求值.

角度3　给值求角

【例2－3】 (1)已知coscos＝－，α∈，则α＝________.

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________.

解析　(1)coscos＝sincos

＝sin＝－，即sin＝－，

又α∈，则－2α∈，

所以－2α＝－，得α＝.

(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝>0，

又α∈(0，π)，∴0<α<，

又∵tan 2α＝＝＝>0，

∴0<2α<，

∴tan(2α－β)＝＝＝1.

∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

∴2α－β＝－.

答案　(1)　(2)－

规律方法　“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.

【训练2】 (1)(角度1)(2020·普宁联考)已知tan＝2，α∈，则sin cos ＋cos2－＝________.

(2)(角度2)cos2＋sin cos ＝________.

(3)(角度3)已知α，β为锐角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.

解析　(1)∵tan＝2，∴tan＝－2，

即tan＝＝＝－2，

∴cos＝－2sin.

∵α∈，∴α＋∈.

又知cos2＋sin2＝1，

解得cos＝－，sin＝.

则sin cos ＋cos2－＝sin α＋cos α

＝sin＝.

(2)cos2＋sin cos ＝＋sin

＝＋cos＋sin

＝＋×＋×＝.

(3)∵α为锐角，且cos α＝，

∴sin α＝＝.

∵α，β∈，∴0<α＋β<π.

又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>，

∴cos(α＋β)＝－.

cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－×＋×＝＝.

∴β＝.

答案　(1)　(2)　(3)

考点三　三角恒等变换的应用

【例3】 已知函数f(x)＝＋2sin x.

(1)在△ABC中，cos A＝－，求f(A)的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴的方程.

解　(1)由sin x＋cos x≠0得x≠kπ－，k∈Z.

因为f(x)＝＋2sin x＝＋2sin x

＝cos x＋sin x，

在△ABC中，cos A＝－<0，所以<A<π，

所以sin A＝＝，

所以f(A)＝sin A＋cos A＝－＝.

(2)由(1)可得f(x)＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝2π.

因为函数y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋，k∈Z，

又由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，

所以f(x)的对称轴的方程为x＝kπ＋，k∈Z.

规律方法　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.

2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.

【训练3】 (2019·合肥质检)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，设函数h(x)＝f(x)－g(x).

(1)求函数h(x)的单调递增区间；

(2)若g＝，求h(α)的值.

解　(1)由已知可得g(x)＝sin，

则h(x)＝sin 2x－sin＝sin 2x－cos 2x

＝sin.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

∴函数h(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)由g＝，得

sin＝sin＝，

∴sin＝sin＝－sin＝－，

即h(α)＝－.

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2020·河南天一大联考)已知sin＝，则sin 4x的值为(　　)

A.   B.±   C.   D.±

解析　因为sin＝(cos 2x－sin 2x)＝，

所以sin 2x－cos 2x＝－，

所以(sin 2x－cos 2x)2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝.故选A.

答案　A

2.(2020·重庆联考)＝(　　)

A.2   B.   C.   D.1

解析　原式＝＝＝1.

答案　D

3.(2019·吉安一模)若sin(α＋π)＝，α∈，则＝(　　)

A.－   B.   C.   D.

解析　由sin(α＋π)＝，得－sin α＝，

则sin α＝－.

又α∈，∴cos α＝＝，

∴＝＝－2sin αcos α＝.

答案　B

4.(2020·广东省际名校联考)若cos＝，则cos＝(　　)

A.   B.－   C.   D.－

解析　∵cos＝，

∴cos＝sin＝sin＝，

∴cos＝1－2sin2＝－.

答案　D

5.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos2α.

又α∈，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，

所以sin2α＝，故sin α＝.

答案　B

二、填空题

6.函数y＝sin＋cos 2x的最大值为________.

解析　因为y＝sin＋cos 2x

＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x

＝cos 2x－sin 2x＝cos，

故最大值为.

答案　

7.已知180°<α<360°，化简：

＝________.

解析　原式＝

＝

＝＝.

因为180°<α<360°，所以90°<<180°，

所以cos <0，所以原式＝cos α.

答案　cos α

8.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.

解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.

又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.

又sin α＝，所以cos α＝，

所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.

所以β＝.

答案　

三、解答题

9.(2020·合肥质检)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α.

解　(1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)由f(α)＝，可得sin＝.

∵α∈，∴2α＋∈.

又∵0<sin＝<，∴2α＋∈.

∴cos＝－.

∴cos 2α＝cos＝coscos ＋sin·sin ＝.

10.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值.

解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，

由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴.

所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，

解得ω＝k＋(k∈Z)，

又0<ω<1，所以ω＝，

所以f(x)＝2sin.

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

(2)由题意可得g(x)＝2sin，

即g(x)＝2cos ，

由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，

又α∈，故<α＋<，

所以sin＝，

所以sin α＝sin

＝sin·cos －cos·sin

＝×－×＝.

B级　能力提升

11.(2020·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　3sin α＋2cos α＝

＝＝2，

∴3tan ＋1－tan2＝tan2＋1，

解得tan ＝0或，又α∈(0，π)，

∴tan ≠0，∴tan ＝，故选D.

答案　D

12.(2020·河南百校联盟质检)若α∈，且cos 2α＝sin，则tan α＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　因为α∈，所以sin α＋cos α>0，

因为cos 2α＝sin，

所以(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(sin α＋cos α)，

所以cos α－sin α＝，可得α∈.

将cos α－sin α＝两边平方可得1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝，∴＝.

分子、分母同除以cos2α可得＝，

解得tan α＝或(舍)，即tan α＝.

答案　A

13.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.

解析　由cos α＝，0<α<，

得sin α＝＝＝，

由0<β<α<，得0<α－β<，

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝＝＝.

由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

∴β＝.

答案　

14.已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).

(1)求a，θ的值；

(2)若α∈，f＋coscos 2α＝0，求cos α－sin α的值.

解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，

所以cos(x＋θ)＝－cos，

化简、整理得，cos xcos θ＝0，则有cos θ＝0，

由θ∈(0，π)，得θ＝，

所以f(x)＝－sin x·.

由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.

(2)由(1)知f(x)＝－sin 2x，

f＋coscos 2α＝0⇒sin＝coscos 2α，

因为cos 2α＝sin＝sin

＝2sincos，

所以sin＝cos2sin.

又α∈，

所以sin＝0或cos2＝.

由sin＝0⇒α＝，

所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－；

由cos2＝，<α＋<，

得cos＝－⇒(cos α－sin α)＝－⇒cos α－sin α＝－.

综上，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.

C级　创新猜想

15.(多选题)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)

A.f(x)在区间上单调递增

B.f(x)图象的一个对称中心是

C.f(x)图象的一条对称轴是x＝－

D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称

解析　f(x)＝sin－2sincos

＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x

＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

当k＝0时，⊆，故A正确；

f＝sin ＝1≠0，故B不正确；

f＝－sin ＝－1，故C正确；

将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确.

答案　AC