2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第3章第3节三角函数的图像与性质


第三节　三角函数的图像与性质
[考纲传真]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像



定义域
R
R
xx≠kπ＋，
k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
递增
区间
，
k∈Z
[2kπ－π，2kπ]，
k∈Z
kπ－，
kπ＋，k∈Z
递减
区间
，
k∈Z
[2kπ，2kπ＋π]，
k∈Z
无
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
方程
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
无
周期性
2π
2π
π

　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． (　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (　　)
(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝cos 4x　　　　　 B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝sin
A　[由T＝可知，ω＝＝4，检验可知选项A正确，故选A.]
3．若函数y＝sin(φ－x)是奇函数，则φ的值可能是(　　)
A. B．
C. D．π
D　[由y＝sin(φ－x)是奇函数可知，φ＝kπ，k∈Z，故选D．]
4．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.
B．
C.
D．
D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为.]
5．y＝sin的减区间是________．
(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得
＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]

三角函数的定义域和值域

1．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A.　　　　　　 B．
C. D．
B　[因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，
所以3sin∈，
所以函数f(x)在区间上的值域是.]
2.(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
B　[∵f(x)＝cos 2x＋6cos＝cos 2x＋6sin x
＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，
又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．]
3．函数y＝lg sin x＋的定义域为________．
(k∈Z)　[要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
∴2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数的定义域为
.]
4．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________．
[－1,1]　[设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
即sin xcos x＝，且－1≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－1时，ymin＝－1.
∴函数的值域为[－1,1]．]
[规律方法]　1.三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．求三角函数最值或值域的常用方法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．
三角函数的单调性

【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B．
C. D．π
(2)函数f(x)＝sin的减区间为________．
(1)C　(2)(k∈Z)　[(1)f(x)＝cos x－sin x＝－sin，
当x－∈，即x∈时，
sin递增，－sin 递减，
∴是f(x)在原点附近的递减区间，
结合条件得[0，a]⊆，
∴a≤，即amax＝，故选C.
(2)由已知，得函数为y＝－sin，欲求函数的减区间，只需求y＝sin的单调增区间即可．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的减区间为(k∈Z)．]
[规律方法]　1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错．
(2)图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间．
2．已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(1)(2019·珠海模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0,2] B．
C. D．
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
(1)D　(2)A　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，因为f(x)＝sin在上递减，所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，
所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D．
(2)因为T＝π，所以ω＝2.所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ的一个正值为，所以y＝Asin.
由函数图像及2，－2,0与最近的最高值的距离，距离越大值越小，可判断f(2)＜f(－2)＜f(0)．故选A.]
三角函数的奇偶性、周期性及对称性

►考法1　三角函数的周期性
【例2】　(1)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B．
C．π D．2π
(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
(1)C　(2)2或3　[(1)因为y＝sin 2x＋cos 2x＝2＝2sin，所以其最小正周期T＝＝π.故选C.
(2)由题意知1＜＜2，即k＜π＜2k.
又k∈Z，所以k＝2或k＝3.]
►考法2　三角函数的奇偶性
【例3】　已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B．
C. D．
B　[∵f(x)＝2sin，
∴要使f(x)为偶函数，只需θ＋＝kπ＋，k∈Z.
∴θ＝kπ＋，k∈Z.
又θ∈，∴当k＝0时， θ＝.]
►考法3　三角函数图像的对称性
【例4】　(1)(2018·陕西二模)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
(2)(2019·武汉模拟)若函数y＝cos(ω∈N*)图像的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
(1)C　(2)2　[(1)由题意，得T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数f(x)关于点(k∈Z)对称，故A，B不正确；由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，所以函数f(x)关于直线x＝对称，故C正确，D不正确，故选C.
(2)由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N* ，
∴ωmin＝2.]
[规律方法]　1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
2．求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义．
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
(2)(2019·山师大附中模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)在x＝时取得最大值，则函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
(3)(2018·济南一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝f(x)，则(　　)
A．f(x)在上递减
B．f(x)在上递增
C．f(x)在上递增
D．f(x)在上递减
(1)A　(2)A　(3)D　[(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
(2)因为x＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜φ＜π)取得最大值，
所以φ＝，即g(x)＝cos，
所以对称中心，对称轴x＝－，故选A.
(3)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin，因为其最小正周期为π，所以＝π，ω＝2，则f(x)＝2sin，又因为f＝f(x)，所以x＝为函数f(x)图像的一条对称轴，则2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝－＋kπ，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝－，则f(x)＝2sin＝2sin，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0，得函数f(x)在上递减，故选D．]

1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π　　　　　　　　　 B．2π
C．π D．
C　[函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C.]
2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在递减
D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
B项，因为f(x)＝cos图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B项正确．
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．
D项，因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．
故选D．]
3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．
3　[由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.]
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]，
∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]