2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第3章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真]　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝.2．诱导公式组序一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos_α余弦cos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan_α  口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限1．同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (　　)(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (　　)(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　)(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　　)A．－　　　B．－　　　C.　　　D．B　[∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－＝－.]3．化简sin 690°的值是(　　)A.  B．－  C.  D．－B　[sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.选B．]4．已知tan α＝2，则的值为________．　[∵tan α＝2，∴＝＝＝.]5．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．－sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2 α.]同角三角函数基本关系式的应用1．已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)A．－　　　　　　　 B．C．－   D．B　[∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.故选B．]2．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)A.   B．C．1   D．A　[因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A.]3．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ的值是________．　[将sin θ＋cos θ＝两边平方得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－＜0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ∈，即sin θ－cos θ＞0，所以sin θ－cos θ＝.][规律方法]　同角三角函数关系式及变形公式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.诱导公式的应用【例】　(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于(　　)A．－   B．C．0   D．(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)A.　　　　　　　　　 B．C.   D．(3)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．(1)B　(2)C　(3)0　[(1)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.(2)化简得解之得tan α＝3.∵α为锐角，由方程组得sin α＝.(3)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.][规律方法]　1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. (1)(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为(　　)A．2   B．－2C.   D．±2(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　　)A．{1，－1,2，－2}   B．{－1,1}C．{2，－2}   D．{1，－1,0,2，－2}(3)(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.(1)D(2)C(3)　[(1)∵sin(π＋α)＝－，∴sin α＝，则cos α＝±，∴tan＝＝＝±2.故选D．(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.所以A的值构成的集合是{2，－2}．(3)由角α与角β的终边关于y轴对称，可知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，所以β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sin β＝sin α＝.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)A．－   B．－C.   D．A　[∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.故选A.]2.(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.－　[由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.tan＝tan＝－＝－＝－＝－.]