2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第8节　函数与方程


第八节　函数与方程
[考纲传真]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．

1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
[常用结论]
1．f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．(教材改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C　[由题意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，
f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，
f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0，
∴f(x)的零点所在的区间为(2,3)．]
3．(教材改编)已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
33
－74
24.5
－36.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，
故函数f(x)在区间[1,6]内至少有3个零点．]
4．函数f(x)＝x－x的零点有________个．

1　[如图所示，函数f(x)＝x－x的零点有1个．]
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
　[∵函数f(x)的图象为直线，
由题意可得f(－1)·f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，
∴实数a的取值范围是.]

判断函数零点所在的区间

1．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1)　　 B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B　[由题意知函数f(x)是增函数，因为f(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．故选B.]
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，
由函数零点存在性判定定理可知：在区间(a，b)(b，c)内分别存在一个零点；
又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.]
3．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在(k∈Z)内，那么k＝________.
5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且f＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零点在内，则整数k＝5.]
[规律方法]　判断函数零点所在区间的方法
(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上来判断.
(2)利用零点存在性定理进行判断.
(3)数形结合画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.


判断函数零点的个数

【例1】　(1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)D　(2)C　[依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，综上，函数f(x)有3个零点．故选D.
(2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．
当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x)有1个零点．
根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.]
[规律方法]　函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.
(1)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．

(1)B　(2)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，
可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x.
在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B.
(2)依题意得
由此解得
由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，
该方程等价于①
或②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.]

函数零点的应用

【例2】　(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
(2)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(1)A　(2)(3，＋∞)　[(1)∵f(x)＝ex＋x－2，
∴f′(x)＝ex＋1＞0，
则f(x)在R上为增函数，
又f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0，
且f(a)＝0，∴0＜a＜1.∵g(x)＝ln x＋x2－3，
∴g′(x)＝＋2x.
当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2，∴a＜b，
∴故选A.
(2)画出f(x)的草图如图所示，若存在实数b，使得f(x)＝b有3个不同的根，
则4m－m2＜m，即m2－3m＞0，
又m＞0，解得m＞3.]
[规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
(1)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝ln x－1的零点依次为a，b，c，则(　　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
(2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
(1)A　(2)C　[(1)在同一坐标系中，画出函数y＝ex，y＝ln x与y＝－x，y＝－1的图象如图所示．
由图可知a＜b＜c，
故选A.
(2)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，
∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.]


1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0)　　　 B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－ B.
C. D．1
C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝.
故选C.
法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.
ex－1＋e－x＋1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，
要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.
若a≤0，则f(x)的零点不唯一．
故选C.]