2020版物理新增分大一轮新高考（京津鲁琼）讲义：第一章运动的描述匀变速直线运动第2讲

第2讲　匀变速直线运动的规律

一、匀变速直线运动的规律
1．匀变速直线运动
沿一条直线且加速度不变的运动．
2．匀变速直线运动的基本规律
(1)速度公式：v＝v0＋at.
(2)位移公式：x＝v0t＋at2.
(3)位移速度关系式：v2－v02＝2ax.
自测1　(2018·山西省重点中学协作体期末)如图1所示，一小球从A点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则AB∶BC等于(　　)

图1
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
答案　C
解析　根据匀变速直线运动的速度位移公式v2－v02＝2ax知，xAB＝，xAC＝，所以AB∶AC＝1∶4，则AB∶BC＝1∶3，故C正确，A、B、D错误．
二、匀变速直线运动的推论
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝.
(3)位移中点速度＝ .
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)．
自测2　(2019·河南省洛阳市模拟)汽车以某一初速度开始做匀加速直线运动，第1 s内行驶了1 m，第2 s内行驶了2 m，则汽车第3 s内的平均速度为(　　)
A．2 m/s B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
答案　B
解析　根据匀变速直线运动的推论可知：x2－x1＝x3－x2，则x3＝3 m，则第3 s内的平均速度为3＝＝3 m/s，故选B.
三、自由落体运动和竖直上抛运动
1．自由落体运动
(1)条件：物体只受重力，从静止开始下落．
(2)基本规律
①速度公式：v＝gt.
②位移公式：x＝gt2.
③速度位移关系式：v2＝2gx.
(3)伽利略对自由落体运动的研究
①伽利略通过逻辑推理的方法推翻了亚里士多德的“重的物体比轻的物体下落快”的结论．
②伽利略对自由落体运动的研究方法是逻辑推理―→猜想与假设―→实验验证―→合理外推．这种方法的核心是把实验和逻辑推理(包括数学演算)结合起来．

2．竖直上抛运动
(1)运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)运动性质：匀变速直线运动．
(3)基本规律
①速度公式：v＝v0－gt；
②位移公式：x＝v0t－gt2.
自测3　(2018·江西省六校第五次联考)一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空气阻力，g＝10 m/s2)(　　)
A．80 m B．40 m
C．20 m D．无法确定
答案　C
解析　物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得到物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：hAB＝g·[()2－()2]＝×10×(2.52－1.52) m＝20 m.

命题点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
1．基本思路

2．方法与技巧
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用公式
v0、v、a、t
x
v＝v0＋at
v0、a、t、x
v
x＝v0t＋at2
v0、v、a、x
t
v2－v02＝2ax
v0、v、t、x
a
x＝t

除时间t外，x、v0、v、a均为矢量，所以需要确定正方向，一般以v0的方向为正方向．
例1　(2018·湖南省永州市三模)质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位制单位)，下列说法正确的是(　　)
A．该质点的加速度大小为1 m/s2
B．该质点在1 s末的速度大小为6 m/s
C．该质点第2 s内的平均速度为8 m/s
D．前2 s内的位移为8 m
答案　C
解析　对比公式x＝v0t＋at2可得v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，所以该质点在1 s末的速度大小为v＝v0＋at1＝7 m/s，A、B错误；该质点在前2 s内的位移为x1＝5×2 m＋22 m＝14 m，该质点在第1 s内的位移为x2＝5×1 m＋12 m＝6 m，所以该质点在第2 s内的平均速度大小为＝＝8 m/s，C正确，D错误．
变式1　(2019·山东省泰安市期中)如图2，一辆汽车在平直公路上匀加速行驶，依次通过A、B、C三点，在AB、BC间的速度增量均为2 m/s，已知AB＝4 m，BC＝6 m，则(　　)

图2
A．汽车在AB段的平均速度大小为4 m/s
B．汽车从B处运动到C处的时间为2 s
C．汽车经过A处的速度大小为1 m/s
D．汽车加速度大小为1 m/s2
答案　A
解析　设vA＝v，则vB＝v＋2，vC＝v＋4
由vB2－v2＝2axAB
vC2－vB2＝2axBC
代入数据得v＝3 m/s，a＝2 m/s2，故C、D错误；
AB＝＝ m/s＝4 m/s，故A正确；
tBC＝＝ s＝1 s，故B错误．

拓展点　刹车类问题的处理技巧
——逆向思维法的应用
刹车类问题：指匀减速到速度为零后立即停止运动，加速度a突然消失的问题，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．
例2　(2018·山东省济南一中阶段检测)汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直到停车，已知汽车刹车时第一秒内的位移为13 m，在最后1秒内的位移为2 m，则下列说法正确的是(　　)
A．汽车在第1秒末的速度可能为10 m/s
B．汽车加速度大小可能为3 m/s2
C．汽车在第1秒末的速度一定为11 m/s
D．汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
答案　C
解析　采用逆向思维，由于最后1 s内的位移为2 m，根据x′＝at2得，汽车加速度大小a＝＝ m/s2＝4 m/s2
第1 s内的位移为13 m，根据x1＝v0t－at2，
代入数据解得初速度v0＝15 m/s，
则汽车在第1 s末的速度
v1＝v0－at＝15 m/s－4×1 m/s＝11 m/s，
故C正确，A、B、D错误．
命题点二　匀变速直线运动的推论及应用
方法与技巧


类型1　平均速度公式的应用
例3　(2018·山东省日照市校际联合质检)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用时间为2t，紧接着通过下一段位移Δx所用时间为t.则物体运动的加速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　物体做匀加速直线运动，在第一段位移Δx内的平均速度是v1＝；在第二段位移Δx内的平均速度是v2＝；因为某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则两个中间时刻的时间差为Δt＝t＋＝t，则物体加速度的大小a＝＝，解得：a＝，故选C.
变式2　(2018·江西省六校第五次联考)如图3所示，一小球(可视为质点)沿斜面匀加速下滑，依次经过A、B、C三点．已知AB＝18 m，BC＝30 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)

图3
A．12 m/s,13 m/s,14 m/s
B．10 m/s,14 m/s,18 m/s
C．8 m/s,10 m/s,16 m/s
D．6 m/s,12 m/s,18 m/s
答案　D
解析　根据Δx＝at2得a＝＝ m/s2＝3 m/s2，经过B点的瞬时速度等于通过AC段的平均速度，则vB＝＝ m/s＝12 m/s，则经过C点的速度vC＝vB＋at＝12 m/s＋3×2 m/s＝18 m/s，经过A点的速度vA＝vB－at＝12 m/s－3×2 m/s＝6 m/s，故D正确．

类型2　逆向思维法和初速度为零的匀变速直线运动推论的应用
例4　(多选)(2019·四川省宜宾市模拟)如图4所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(　　)

图4
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案　BD
解析　因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向匀加速直线运动来研究．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)，故所求时间之比为(－)∶(－1)∶1，所以选项C错误，D正确；由v2－v＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1∶∶，则所求的速度之比为∶∶1，故选项A错误，B正确．
变式3　 (多选)一物块以一定的初速度从光滑斜面底端a点上滑，最高可滑至b点，后又滑回至a点，c是ab的中点，如图5所示，已知物块从a上滑至b所用时间为t，下列分析正确的是(　　)

图5
A．物块从c运动到b所用的时间等于从b运动到c所用的时间
B．物块上滑过程的加速度与下滑过程的加速度等大反向
C．物块下滑时从b运动至c所用时间为t
D．物块上滑通过c点时的速度大小等于整个上滑过程中平均速度的大小
答案　AC
解析　由于斜面光滑，物块沿斜面向上与向下运动的加速度大小相同，a＝gsin θ，故物块从c运动到b所用的时间等于从b运动到c所用的时间，选项A正确，B错误；物块由b到a的过程是初速度为零的匀加速直线运动，则可知＝，解得tbc＝t，选项C正确；由于c是位移的中点，物块上滑过程中通过c点的速度不等于整个上滑过程的平均速度，选项D错误．
命题点三　自由落体和竖直上抛运动
1．两种运动的特性
(1)自由落体运动为初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动．
(2)竖直上抛运动的重要特性(如图6)

图6
①对称性
a．时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.
b．速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等．
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性．
2．竖直上抛运动的研究方法
分段法
上升阶段：a＝g的匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(向上方向为正方向)
若v>0，物体上升，若v0，物体在抛出点上方，若h