2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习教学案：第4章第1节　曲线运动　运动的合成与分解

第1节　曲线运动　运动的合成与分解

知识点一| 曲线运动

1．速度的方向

质点在某一点的速度方向，为沿曲线在这一点的切线方向。

2．运动的性质

做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

3．曲线运动的条件

(1)曲线运动一定是变速运动。(√)

(2)曲线运动的速度大小可能不变。(√)

(3)曲线运动的加速度可以为零。(×)

考法1　曲线运动的特点

1．(多选)(2019·广州模拟)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是    (　　)

A．它所受的合外力一定不为零

B．它所受的合外力一定是变力

C．其速度可以保持不变

D．其动能可以保持不变

AD　[物体做曲线运动，其速度方向一定改变，故物体的加速度一定不为零，合外力也一定不为零，合外力若与速度始终垂直，动能可以保持不变，故选项A、D正确，B、C错误。]

2．(多选)关于曲线运动的加速度方向，下列说法正确的是(　　)

A．曲线运动的加速度方向沿曲线的切线方向

B．曲线运动的加速度方向一定与速度方向垂直

C．曲线运动的加速度方向不可能与速度方向在同一条直线上

D．曲线运动的加速度方向一定与合外力方向相同

CD　[加速度与合外力是瞬时对应的，而曲线运动的合外力与速度方向不在一条直线上，所以曲线运动的加速度不可能沿曲线的切线方向。曲线运动的加速度有切向分量时，可改变速度的大小，如变速圆周运动。]

考法2　曲线运动的轨迹与速度、加速度(合外力)关系

3．(2019·青岛模拟)质点做曲线运动，从A到B速率逐渐减小，如图所示，有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向，其中正确的是(　　)

A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D

A　[由于质点的速率逐渐减小，则加速度方向与速度方向夹角大于90°；因为曲线运动中，加速度指向轨迹的“凹侧”，可知A正确，B、C、D错误。]

知识点二| 运动的合成与分解

1．遵循的法则

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

2．合运动与分运动的关系

合运动与分运动是等效替代关系，且具有等时性和独立性。

3．合运动的性质判断

4．两个直线运动的合运动性质的判断

(1)合运动不一定是物体的实际运动。(×)

(2)合运动的速度一定大于分运动的速度。(×)

(3)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)

考法1　合运动与分运动的关系

1．(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示。当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作

B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害

C．运动员下落时间与风力无关

D．运动员着地速度与风力无关

BC　[水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，选项A错误，C正确；运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，选项B正确，D错误。]

考法2　物体运动性质的判断

2．(多选)一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两个力不变，此物体可能做(　　)

A．匀加速直线运动　 B．匀减速直线运动

C．匀变速曲线运动   D．匀速圆周运动

ABC　[一个物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，这三个力的合力一定为0。撤去其中一个力后，另两个力的合力与撤去的力大小相等，方向相反，一定是恒力。若这个恒力方向与原运动方向一致，物体做匀加速直线运动；若这个恒力方向与原运动方向相反，则物体做匀减速直线运动；若这个恒力方向与原运动方向不在一条直线上时，其运动就类似于抛体运动，做匀变速曲线运动。所以说，A、B、C三种情况是可能的。物体做匀速圆周运动所需的合外力必须是大小恒定、方向总是指向圆心的变力，而此恒力不能满足其要求，所以不可能做匀速圆周运动。]

3．(2019·重庆模拟)一物体的运动规律是x＝(3t＋3t2)m，y＝4t2m，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动

B．物体的合运动是初速度为零、加速度为5 m/s2的匀加速直线运动

C．物体的合运动是初速度为零、加速度为10 m/s2的匀加速直线运动

D．物体的合运动是加速度为10 m/s2的匀变速曲线运动

D　[根据匀变速直线运动的位移时间公式x＝v0t＋at2，对比x＝(3t＋3t2)m，y＝4t2m可知，物体在x方向做初速度为3 m/s，加速度为6 m/s2的匀加速直线运动，而在y方向做初速度为零、加速度为8 m/s2的匀加速直线运动，那么物体的合运动是初速度为3 m/s、加速度为10 m/s2的匀变速曲线运动，故选项A、B、C错误，D正确。]

考法3　运动的合成与分解

4．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为(　　)

A．西北风　风速为4 m/s

B．西北风　风速为4 m/s

C．东北风　风速为4 m/s

D．东北风　风速为4 m/s

D　[以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风刮向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风刮向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速为v＝4 m/s，D正确。

]

5．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(　　)

A．西偏北方向，1.9×103 m/s

B．东偏南方向，1.9×103 m/s

C．西偏北方向，2.7×103 m/s

D．东偏南方向，2.7×103 m/s

B　[根据余弦定理，发动机给卫星的附加速度大小为v＝，代入数据得v＝1.9×103 m/s，方向如图，为东偏南方向，选项B正确。

]

考法4　运动性质与图象结合

6．(2019·淄博模拟)质量为2 kg的质点在x­y平面上运动，x方向的速度—时间图象和y方向的位移—时间图象分别如图所示，则质点(　　)

A．初速度为4 m/s

B．所受合外力为4 N

C．做匀变速直线运动

D．初速度的方向与合外力的方向垂直

B　[x轴方向初速度为vx＝4 m/s，y轴方向初速度vy＝3 m/s，质点的初速度v0＝＝5 m/s，故A错误；x轴方向的加速度a＝2 m/s2，y轴方向做匀速直线运动，质点所受合力F合＝ma＝4 N，故B正确；x轴方向的合力恒定不变，y轴方向做匀速直线运动，合力为零，则质点的合力恒定不变，做匀变速曲线运动，故C错误；合力沿x轴方向，而初速度方向既不沿x轴方向，也不沿y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，故D错误。]

知识点三| 小船渡河问题

1．船的实际运动

是水流的运动和船相对静水运动的合运动。

2．小船渡河时间

只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。

3．三种速度

v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)。

(1)船的实际运动即为船的合运动，其轨迹与水流速度和船在静水中的速度有关。(√)

(2)船头指向的运动方向为船在静水中的速度方向。(√)

小船渡河的两类问题、三种情景

[典例]　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的航速是4 m/s，求：

(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？

(3)小船渡河的最短时间为多长？

(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？

解析：(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即

t＝＝ s＝50 s

小船沿水流方向的位移

x水＝v水t＝2×50 m＝100 m

即船将在正对岸下游100 m处靠岸。

(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则

甲

cos θ＝＝＝，

故θ＝60°

即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间t＝＝ s＝ s。

 (3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin β，故小船渡河的时间为t＝，当β＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间tmin＝50 s。

乙

(4)因为v船＝3 m/s＜v水＝5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游。如图丙所示，设船头(v船)与上游河岸成θ角，合速度v与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x′越短。以v水的矢尖为圆心，以v船的大小为半径画圆，当合速度v与圆相切时，α角最大。

丙

则cos θ＝＝，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°

又＝＝，代入数据解得x′≈267 m。

答案：见解析

考法1　水流不均匀的小船渡河问题

1．(2019·潍坊模拟)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是 (　　)

A．小船渡河的轨迹为直线

B．小船在河水中的最大速度是5 m/s

C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度

D．小船渡河的时间是160 s

B　[小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5 m/s，选项B正确；小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝200 s，选项D错误。]

2．河水的流速随离河岸一侧的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则(　　)

甲　　　　　　　　乙

A．船渡河的最短时间为75 s

B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线

C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直

D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s

A　[当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝＝ s＝75 s，故A正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短路程渡河，必须是小船合速度始终与河岸垂直，故C错误；根据速度的合成可知，船在河水正中间时速度最大，为5 m/s，其余位置小于5 m/s，故D错误。]

考法2　小船在静水中的速度不均匀的过河问题

3．(多选)一小船在匀速流动的河水中以船身始终垂直于河岸方向过河，已知河宽d＝64 m，河水的流速大小为3 m/s，小船初速度为0，过河过程中小船先以1 m/s2的加速度匀加速运动，到达两河岸垂直连线的中点后再以1 m/s2的加速度匀减速运动，则(　　)

A．小船过河的平均速度大小为4 m/s

B．小船过河过程中垂直于河岸方向的最大速度为8 m/s

C．小船过河的时间为16 s

D．小船到达河对岸时的位移大小为112 m

BC　[设小船到达两河岸垂直连线的中点所用时间为t，在垂直于河岸方向上，有d＝2×at2，其中d＝64 m，a＝1 m/s2，解得t＝8 s，则小船的渡河时间为T＝2t＝16 s，垂直于河岸方向的最大速度v⊥max＝at＝8 m/s，选项B、C正确；小船过河的过程中，沿河岸方向的位移x＝v水·2t＝48 m，实际位移s＝＝80 m，选项D错误；小船过河的平均速度＝＝＝5 m/s，选项A错误。]

考法3　最短时间与最短航程综合分析

4．端午赛龙舟是中华民族的传统，2016年端午节南通濠河举办国际龙舟赛。若某龙舟在静水中的速度大小为v1＝4 m/s，在比赛前划向比赛点的途中欲渡过一条两岸笔直平行的宽度为d＝150 m、水流速度大小处处为v2＝3 m/s的小河，则下列说法中正确的是(　　)

A．该龙舟不能垂直到达对岸

B．该龙舟过河的最短时间是50 s

C．该龙舟在此河流中航行的最大速度为5 m/s

D．该龙舟以最短时间渡河时，其沿水流方向的位移大小为112.5 m

D　[若能垂直到达对岸，则要满足合速度与水速垂直，在速度合成的矢量三角形里，龙舟的速度是斜边大于水速，因此合速度有可能垂直河岸，选项A错误；河的宽度一定，龙舟过河的时间与垂直河岸方向的分速度有关，由于水速沿河岸向下，因此渡河时间只与龙舟的速度在垂直河岸方向分速度有关，  当龙舟头垂直河岸时，渡河时间最短，此时渡河的最短时间t＝＝ s＝37.5 s，故选项B错误；龙舟过河参与了两个运动，一个是龙舟相对静水v1＝4 m/s的匀速直线运动，  方向可以调节，  另外一个是随水流v2＝3 m/s的匀速直线运动，  方向沿河岸指向下游，  龙舟的运动是两个运动的合成，速度也是两个速度的合成，v1＝4 m/s和v2＝3 m/s的合速度在1 m/s到7 m/s之间，5 m/s不是最大速度，故选项C错误；龙舟以最短时间渡河时，其沿水流方向的位移大小为x＝v2t＝3×37.5 m＝112.5 m，故选项D正确。]

考法4　避险求极值问题

5．如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a。在船下水点A的下游距离为b处是瀑布。为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，则(　　)

A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝

B．小船轨迹垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度为vmax＝

C．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝

D．当小船沿轨迹AB渡河时，船在静水中的最小速度为vmin＝

D　[当小船船头垂直河岸渡河，时间最短，最短时间为t＝，且t必须小于或等于，故选项A错误；小船轨迹垂直河岸渡河，位移最小，大小为a，但船头必须指向上游，合速度不是最大，故选项B错误；小船沿轨迹AB运动，船在静水中的速度最小时，船头方向与AB垂直，可得vmin＝，故选项C错误，D正确。]

知识点四| 绳(杆)端速度分解模型

1．模型特点   

沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。

2．思路与方法

合速度→物体的实际运动速度v

分速度→

方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。

3．解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：

甲　　　　　　　乙

丙　　　　　　　　丁

(1)沿绳运动的分速度一定大于垂直于绳方向的分速度。(×)

(2)绳端速度分解时，可将沿绳方向的速度正交分解。(×)

(3)杆端速度分解时，沿杆的速度大小一定相等。(√)

考法1　绳端速度分解模型

1．如图所示，一人将船拉向岸边，当船运动到A处时，绳与水平面的夹角是θ，这时小船的速度为v1，人拉绳的速度为v2，这两个速度之间的关系是(　　)

A．v2＝v1sin θ　　 B．v2＝v1cos θ

C．v2＝   D．v2＝

B　[如图所示，设人拉绳在很短的Δt时间内前进了Δl2距离，而小船在水平方向前进了Δl1的距离，因Δt很小，可以认为v1＝，v2＝。在原绳长上截取后来的绳长l，因绳为定长，则余下部分为Δl2。而Δθ≈0，则有Δl2＝Δl1·cos θ，故v2＝＝·cos θ＝v1cos θ。]

2．(2019·宝鸡模拟)如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　)

A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2

B．当θ＝90°时，Q的速度最大

C．当θ＝90°时，Q的速度为零

D．θ增大到90°的过程中Q的合力一直增大

B　[P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，则当θ＝60°时，P的速度vP＝vQcos 60°，解得＝，故选项A错误；当Q到达O点正下方时，此时P的速度为0，且处于最低位置，由机械能守恒定律可知，Q的速度最大，故选项B正确，C错误；θ增大到90°的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D错误。]

考法2　杆端速度分解模型

3．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)

A．v1＝v2　　　　B．v1＝v2cos θ   C．v1＝v2tan θ  D．v1＝v2sin θ

C　[将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，选项C正确。]