2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习教学案：第4章第4节　万有引力与航天


第4节　万有引力与航天
知识点一| 开普勒行星运动定律的应用

1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝k。

(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行的速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。(√)
(3)开普勒第三定律＝k中k值与中心天体质量无关。(×)

考法1　以开普勒定律为背景的物理学史的考查
1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B　[开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。]
考法2　开普勒定律内容的理解
2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C　[木星绕太阳运行的轨道为椭圆轨道，故太阳应位于其椭圆轨道的一个焦点上，A项错误；由于火星和木星在不同的轨道上，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B项错误；由开普勒第三定律可知，同一中心天体＝＝k，即＝，C项正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，且开普勒第二定律是指，对同一行星而言，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，D项错误。]
考法3　开普勒第三定律的应用
3．某宇宙飞船绕某个未知星球做圆周运动，在轨道半径为r1的圆轨道上运动时周期为T。随后飞船变轨到半径为r2的圆轨道上运动，则飞船变轨后(　　)
A．飞船的周期为T
B．飞船的周期为T
C．飞船的周期为T
D．飞船的周期为T
D　[由开普勒第三定律得＝，则T1＝T。]
4．17世纪，英国天文学家哈雷跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定的时间飞临地球，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星围绕太阳公转的轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。从公元前240年起，哈雷彗星每次回归，中国均有记录。它最近一次回归的时间是1986年。从公元前240年至今，我国关于哈雷彗星回归记录的次数，最合理的是(　　)

A．24次　　B．30次　　C．124次　　D．319次
B　[设彗星的周期为T1、半长轴为R1，地球的公转周期为T2、公转半径为R2，由开普勒第三定律＝C得，＝＝≈76，则彗星回归的次数n＝≈29，因此最合理的次数为30次，选项B正确，选项A、C、D错误。]
知识点二| 万有引力定律的理解及应用


1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝G，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。

(1)只有天体之间才存在万有引力。(×)
(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
(3)地面上物体所受地球万有引力的大小均可由F＝G求得，其方向指向地心。(√)

天体密度的测量方法
1．重力加速度法
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度：ρ＝＝＝。
2．卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
[典例]　(多选)我国计划在2020年实现火星的着陆巡视，假设探测器飞抵火星着陆前，沿火星近表面做匀速圆周运动，运动的周期为T，线速度为v，已知引力常量为G，火星可视为质量均匀的球体，则下列说法正确的是(　　)
A．火星的质量为
B．火星的平均密度为
C．火星表面的重力加速度大小为
D．探测器的向心加速度大小为
BCD　[因探测器沿火星近表面做匀速圆周运动，故可认为轨道半径等于火星的半径，设探测器绕火星运行的轨道半径为r，根据v＝可得r＝，又＝m，得M＝，选项A错误；火星的平均密度ρ＝＝＝，选项B正确；火星表面的重力加速度大小g火＝＝＝，选项C正确；探测器的向心加速度大小为a＝＝，选项D正确。]


估算天体质量和密度的两点注意
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，求出的只是中心天体的质量，并非环绕物体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，体积V＝πR3只能用天体半径R。

考法1　万有引力定律的简单应用
1．已知两个质点相距为r时，它们之间的万有引力大小为F。若只将它们之间的距离变为2r，则它们之间的万有引力大小为(　　)
A．4F　　　B．2F　　　C.F　　　D.F
C　[由F＝G可知，当距离为2r时，万有引力为F，选项C正确，A、B、D错误。]
2．如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为2R，如果从球的正中心挖去一个半径为R的球，放在距离为d的地方，求两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)?

解析：根据割补法可得左侧球充满时两球间万有引力
F＝G
被挖去位置处半径为R的球体对被挖去球体的万有引力F1＝
被挖去球体的质量m＝，
则被挖去两球之间的万有引力
F2＝F－F1＝。
答案：
考法2　与重力加速度有关的计算
3．若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为(　　)
A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
D　[当物体处于地面时，有mg＝G，当物体距离地面3R时，有mg′＝G，由此得g′∶g＝1∶16，选项D正确。]
4．月球绕地球做匀速圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g0，地球质量M与月球质量m之比M∶m＝81∶1，地球半径R0与月球半径R之比R0∶R＝3.6∶1，地球与月球之间的距离r与地球的半径R0之比r∶R0＝60∶1。求月球表面的重力加速度g与地球表面的重力加速度g0的比值。
解析：由G＝mg得地球及月球表面的重力加速度分别为g0＝、g＝，所以＝＝＝0.16。
答案：0.16
考法3　天体质量或密度的估算
5．(多选)要计算地球的质量，除已知的一些常识性数据外还需知道某些数据，下列给出的各组数据中，可以计算出地球质量的是(　　)
A．已知地球半径R
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
D．已知地球公转的周期T′及轨道半径r′
ABC　[设相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得mg＝G，解得地球质量为M＝，所以选项A正确；设卫星的质量为m′，根据万有引力提供卫星运行的向心力，可得G＝m′，解得M＝，故选项B正确；再根据G＝m′r2，G＝m′，联立以上两式消去r解得M＝，故选项C正确；若已知地球公转的周期T′及轨道半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误。]
6.(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
C　[毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。]
7．(2019·济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示。根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为 (　　)
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A.3∶2 B．2∶3 C．4∶1 D．6∶1
A　[在星球表面附近，万有引力等于重力，即G＝mg，解得星球质量M＝。地球和月球的质量之比＝·＝，由密度公式ρ＝，体积公式V＝πR3，联立解得地球和月球的密度之比＝·＝，选项A正确。]

过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A. B．1 C．5 D．10
B　[根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得M＝，所以恒星质量与太阳质量之比为＝＝×≈1，故选项B正确。]
知识点三| 宇宙速度及卫星运行参数的分析计算

1．三种宇宙速度比较
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度
7.9
地球卫星最小发射速度(环绕速度)
第二宇宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
2.第一宇宙速度的计算方法
(1)由G＝m得v＝。
(2)由mg＝m得v＝。
3．物理量随轨道半径变化的规律
规律

(1)第一宇宙速度与地球的质量有关。(√)
(2)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×)
(3)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行。(√)
(4)卫星离地面越高，其线速度越大。(×)

考法1　宇宙速度的认识
1．(多选)我国计划2020年发射火星探测器。已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的一半
CD　[根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，C正确；已知M火＝，R火＝，则vmax∶v1＝∶＝≈0.5，选项D正确。]
2．地球的近地卫星线速度约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的1/81，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是(　　)
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的速度比“近地卫星”的速度大
C　[根据第一宇宙速度v＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v2＝v1＝×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于1.8 km/s。“近月卫星”的速度1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度。]
[考法指导]　 计算第一宇宙速度的思路
(1)根据G＝m，v＝。
(2)根据mg＝m，v＝。
(3)利用比例关系：在计算其它星球的第一宇宙速度时，通常利用地球的第一宇宙速度值7.9 km/s，通过比例关系求解。
考法2　卫星运行参数的分析与计算
3．(多选)如图所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是(　　)

A．vB＞vA＞vC　　　 B．ωA＞ωB＞ωC
C．FA＞FB＞FC D．TA＝TC＞TB
AD　[A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA＞vC，再根据G＝m得到v＝，可见vB＞vA，所以三者的线速度关系为vB＞vA＞vC，选项A正确；由同步卫星的含义可知TA＝TC，再由G＝mr可知TA＞TB，因此它们的周期关系为TA＝TC＞TB，由ω＝可知它们的角速度关系为ωB＞ωA＝ωC，选项D正确，B错误；由F＝G可知FA＜FB＜FC，选项C错误。]
4．(多选)(2019·丽水模拟)设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
A．卫星的线速度为
B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为
D．卫星的周期为2π
CD　[卫星在距地面2R0高处做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m＝mω2r2＝m＝ma，在地球表面处有G＝mg，其中r1＝R0，r2＝3R0，解以上各式得v＝，ω＝，a＝，T＝2π，选项A、B错误，C、D正确。]
[考法指导]　利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两组公式
①G＝m＝mω2r＝mr＝ma。
②mg＝(g为星体表面处的重力加速度)。
(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较。
考法3　同步卫星问题
5．(多选)关于地球的同步卫星，下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星一定在赤道正上方
B．所有同步卫星距离地球的高度相同
C．低于同步卫星高度的卫星的线速度一定大于同步卫星的线速度
D．同步卫星可以绕两极运动
ABC　[同步卫星相对于地面是静止的，所以同步轨道必定与赤道共面，故同步卫星一定在赤道的正上方，选项A正确，D错误；同步卫星的周期与地球的自转周期相同，根据G＝mr，r＝R＋h，得所有同步卫星距离地球的高度相同，选项B正确；由G＝m，得v＝，低于同步卫星高度的卫星的线速度一定大于同步卫星的线速度，选项C正确。]
[考法指导]　地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
考法4　卫星的发射与变轨
6．(多选)(2019·唐山模拟)如图所示，地球卫星a、b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切，则(　　)

A．卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短
B．两颗卫星分别经过A点处时，a的速度大于b的速度
C．两颗卫星分别经过A点处时，a的加速度小于b的加速度
D．卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行
AD　[由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半径短，根据开普勒定律，卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短，选项A正确；两颗卫星分别经过A点处时，a的速度小于b的速度，选项B错误；两颗卫星分别经过A点处，a的加速度等于b的加速度，选项C错误；卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D正确。]
7．(多选)如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是(　　)

A．“嫦娥三号”飞行速度一定越来越小
B．“嫦娥三号”的动能可能增大
C．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变
D．“嫦娥三号”的动能和引力势能之和可能增大
AC　[在地月转移段“嫦娥三号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥三号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误。关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥三号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。]
[考法指导]　
1．从引力和向心力的关系分析变轨问题
(1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，＜m，卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道。
(2)当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道。
2．变轨问题考查的热点
(1)运动参量的比较：两个轨道切点处，加速度由＝ma分析，式中“r”表示卫星到地心的距离，a大小相等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等。
(2)能量的比较：在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力势能转化，机械能保持不变。两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械能越大。
知识点四| 双星模型和多星模型

1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。

(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1＝m1r1，
＝m2ωr2＝m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
(2)三星模型
①如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma向。

两行星转动的周期、角速度、线速度的大小相等。
②如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

×2×cos 30°＝ma向，其中L＝2rcos 30°。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

(1)双星问题中，两星一定沿它们连线中点转动。(×)
(2)多星模型中都是万有引力的合力提供向心力。(√)
(3)多星或双星模型中各星转动的周期、角速度、线速度大小相等。(×)

考法1　双星模型
1．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的(　　)

A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
A　[双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，F＝mAω2rA＝mBω2rB，所以mA∶mB＝2∶1，选项A正确，B、D错误；由v＝ωr可知，线速度大小之比vA∶vB＝1∶2，选项C错误。]
考法2　三星模型
2．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(　　)

A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
ABC　[每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。]
[考法指导]　解决双星、多星问题的关键点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。