2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第十章第六节离散型随机变量及其分布列

第六节离散型随机变量及其分布列

1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示❶.
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
❷此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列.
(2)分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②i＝1.
3．常见的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列
X
0
1
P
1－p
p

(2)超几何分布列❹
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*❺.
X
0
1
…
m
P


…


若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量．
表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率．
两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.
超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；
(2)已知各类对象的个数；
(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
m＝min{M，n}的理解
m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即n≤M时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即n＞M时，k的最大值为m＝M.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出.(　　)
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、选填题
1.抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(　　)
A.一颗是3点，一颗是1点
B.两颗都是2点
C.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
D.甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
解析：选D　甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选D.
2.设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.
3.某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A.0.28 B.0.88
C.0.79 D.0.51
解析：选C　P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
4.已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝________.
解析：由分布列的性质知＋＋＝1，∴a＝3，
∴P(X＝2)＝＝.
答案：
5.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.
解析：由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝＝.
答案：

考点一 离散型随机变量的分布列的性质[基础自学过关]
[题组练透]
1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
－1
0
1
P

2－3q
q2

则q的值为(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.±
C.－ D.＋
解析：选C　由分布列的性质知
解得q＝－.
2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由×a＝1，知a＝1，得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
3.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列.
解：(1)由分布列的性质知，
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9

从而Y＝2X＋1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)列表为
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

(3)首先列表为
X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16

从而ξ＝X2的分布列为
ξ
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

[名师微点]
离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
考点二 超几何分布[师生共研过关]
[典例精析]
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
[解]　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M＝＝.
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






[解题技法]
1.随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.
2.求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列.
[过关训练]
　某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列.
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布.
X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





考点三 求离散型随机变量的分布列[师生共研过关]
[典例精析]
已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200,300,400，
则P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P




[解题技法]
离散型随机变量分布列的求解步骤

[过关训练]
　有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
解：(1)因为当X＝2时，有C种坐法，
所以C＝6，即＝6，
n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意知X的可能取值是0,2,3,4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
0
2
3
4
P






一、题点全面练
1.若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2]　　　　　　　　 B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
解析：选C　由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2].
2.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ak(其中k＝1,2,3)，则a的值为(　　)
A.1 B.
C. D.
解析：选D　因为随机变量X的分布列为
P(X＝k)＝ak(k＝1,2,3)，
所以根据分布列的性质有a×＋a2＋a3＝1，
所以a＝a×＝1，
所以a＝.
3.(2019·赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故选C.
4.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
解析：选D　依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2个.
5.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A.10% B.20%
C.30% D.40%
解析：选B　设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，∴x＝2或8.
∵次品率不超过40%，∴x＝2，∴次品率为＝20%.
6.某射击选手射击环数的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.3
0.3
a
b

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
答案：40%
7.已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________.
解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，
又即得－≤d≤.
答案：
8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.
解析：设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，
其中N＝6，M＝2，n＝3，
则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：
9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.
解：(1)由已知，得P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
其中P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4).
故P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P





10.(2019·长春质检)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量
[0,1 000]
(1 000,3 000]
(3 000，＋∞)
节数
6
18
12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列.
解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
则X的分布列为
X
0
20
40
60
P






11.(2018·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列.
解：(1)由题意知[105＋107＋113＋115＋119＋126＋(120＋x)＋132＋134＋141]＝122，
解得x＝8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
所以P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝＝，
P(η＝2)＝＝，
P(η＝3)＝＝，
P(η＝4)＝＝.
所以η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P






二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于(　　)
A.(1－α)(1－β)　　　　　　 B.1－(α＋β)
C.1－α(1－β) D.1－β(1－α)
解析：选B　显然P(ξ＞x2)＝β，P(ξ＜x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)＝1－P(ξ＞x2)－P(ξ＜x1)＝1－α－β.
2.一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　{X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝××…××＝.
3.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________.
解析：事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝.
答案：.
(二)难点专练——适情自主选
4.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内，设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)＝考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50,60)内的成绩记为1分，考试分数在[60,70)内的成绩记为2分，考试分数在[70,80)内的成绩记为3分，考试分数在[80,90)内的成绩记为4分，考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；
(2)求P(ξ＝7)；
(3)求ξ的分布列.
解：(1)因为f(x)＝
所以＋＋＋＋＝1，所以b＝1.9.
估计该班的考试平均分数为
×55＋×65＋×75＋×85＋×95＝76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分，2分，3分的学生中抽出1人，2人，3人，再从这6人中抽出3人，所以P(ξ＝7)＝＝.
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9，
所以P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝7)＝，P(ξ＝8)＝＝，P(ξ＝9)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
5
6
7
8
9
P