2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第十章第三节二项式定理

第三节二项式定理

1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)❶；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C❷.
2.二项式系数的性质


(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项.(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、选填题
1.二项式(x－2)5展开式中x的系数为(　　)
A.5　　　　　　　　　　 B.16
C.80 D.－80
解析：选C　由二项式定理知，其展开式中含x的项为T5＝Cx(－2)4，故其系数为C(－2)4＝80.
2.6的展开式中的常数项为(　　)
A.－150 B.150
C.－240 D.240
解析：选D　6的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6－k·k＝Cx6－k·(－2)k·x－＝(－2)kCx6－k.令6－k＝0，解得k＝4，故所求的常数项为T5＝(－2)4·C＝240.
3.二项式10的展开式中，的系数是(　　)
A. B.－
C.15 D.－15
解析：选B　10的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C10－r·r＝(－1)r22r－10Cx5－，令5－＝，得r＝3，所以的系数是(－1)3·2－4·C＝－.
4.若n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n＝________.
解析：由题意，可知2n＝128，解得n＝7.
答案：7
5.若(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝________.
解析：(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.
由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.
答案：7


[考法全析]
考法(一)　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例1]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)
A.10　　　　　　　　　　 B.20
C.40 D.80
(2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.
(3)(2019·甘肃检测)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.
[解析]　(1)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.
(2)(2x－a)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r·C·(2x)5－r·ar＝(－1)r·C·25－r·ar·x5－r，令5－r＝3，解得r＝2，由(－1)2·C·25－2·a2＝720，解得a＝±3.
(3)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r·r＝C(－a)rx5－r.由5－r＝5，得r＝0，由5－r＝2，得r＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
[答案]　(1)C　(2)±3　(3)±1

求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；
第三步，把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出Tr＋1或者其他量.
考法(二)　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例2]　(1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A.－4 B.－3
C.3 D.4
(2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
[解析]　(1)法一：(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.
令＋＝1，得m＋n＝2，
于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.
法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x).于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.
(2)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为Ca2，含x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
[答案]　(1)B　(2)

求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；
第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；
第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
考法(三)　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
[例3]　(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
(2)将3展开后，常数项是________.
[解析]　(1)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30.
(2)3＝6展开式的通项是C()6－k·k＝(－2)k·Cx3－k.
令3－k＝0，得k＝3.
所以常数项是C(－2)3＝－160.
[解析]　(1)C　(2)－160

求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；
第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n的展开式的通项；
第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r的展开式中的哪些项和cr相乘得到的；
第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
[过关训练]
1.(2018·洛阳第一次统考)若a＝ sin xdx，则二项式6的展开式中的常数项为(　　)
A.－15　　　　　　　　　 B.15
C.－240 D.240
解析：选D　由a＝ sin xdx＝(－cos x)＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)rC·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝2，故常数项为C·24＝240.
2.(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________.(用数字作答)
解析：二项展开式中，含x5的项是C2x5－x3C24x2＝－228x5，所以x5的系数是－228.
答案：－228
3.5(x＞0)的展开式中的常数项为________.
解析：5(x＞0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝.
答案：

[典例精析]
(1)若n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A.6　　　　　　　　 B.
C.4x D.或4x
(2)若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________.
(3)若(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
[解析]　(1)令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
(2)n的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
在(1－3x)n中，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255.
(3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
[答案]　(1)A　(2)255　(3)3
[解题技法]
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立.因此，可将x，y设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可.
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中
(1)各项系数之和为f(1).
(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝.
(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[过关训练]
1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A.1 B.243
C.121 D.122
解析：选B　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.
解析：令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.
答案：－3或1
3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.
解析：由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.
答案：C(3x)7和C(3x)8

[典例精析]
设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)
A.0　　　　　　　　　　 B.1
C.11 D.12
[解析]　由于51＝52－1，
512 018＝(52－1)2 018＝C522 018－C522 017＋…－C521＋1，
又13整除52，
所以只需13整除1＋a，
又0≤a＜13，a∈Z，
所以a＝12.
[答案]　D
[解题技法]
利用二项式定理解决整除问题的思路
(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：
①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；
②二项式定理的逆用.
[过关训练]
1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：选C　∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.
2.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数为________.
解析：∵1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910，
∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，
∵前10项均能被88整除，∴余数为1.
答案：1

一、题点全面练
1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)3的展开式中的常数项为(　　)
A.－3　　　　　　　　　 B.3
C.6 D.－6
解析：选D　通项Tr＋1＝C3－r·(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D.
2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则的值为(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
解析：选C　由二项式定理，得a1＝－C24＝－80，a2＝C23＝80，a3＝－C22＝－40，a4＝C2＝10，所以＝－.
3.若二项式7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为(　　)
A.560 B.－560
C.280 D.－280
解析：选A　取x＝1，得二项式7的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1,1＋a＝－1，a＝－2.二项式7的展开式的通项Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560.
4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.29 B.210
C.211 D.212
解析：选A　由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
5.二项式9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为(　　)
A.－671 B.671
C.672 D.673
解析：选B　令x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r·(－2x2)r＝C(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中的常数项为C(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.
6.(2018·石家庄二模)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含x4项的系数为(　　)
A.－5 B.－15
C.－25 D.25
解析：选B　由题意含x4项的系数为－2C＋C＝－15.
7.(2018·枣庄二模)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B.
C.1 D.2
解析：选D　10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C.令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C.所以(x2－a)10的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2.
8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)
A.1或3 B.－3
C.1 D.1或－3
解析：选D　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.∵a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.
9.(2019·唐山模拟)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)
解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C23(－1)3＝－160.
答案：－160
10.(2019·贵阳模拟)9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.
解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝arCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以a3C＝－84，解得a＝－1，所以二项式为9，令x＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.
答案：0
11.5展开式中的常数项为________.
解析：5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·5－r.令r＝5，得常数项为C＝1，令r＝3，得常数项为C·2＝20，令r＝1，得常数项为C·C＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.
答案：51
12.已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列.
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项.
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，
由已知得2×C＝C＋C，解得n＝8(n＝1舍去).
(2)8的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·r＝2－rCx4－(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，
解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，

二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.在二项式n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是(　　)
A.35 B.－35
C.－56 D.56
解析：选C　由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式8展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－x－1)r＝(－1)rCx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C＝－56.
2.已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)
A.64 B.32
C.63 D.31
解析：选C　因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63.
3.(2019·济南模拟)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x4项的系数为________.
解析：令x＝1，可得5的展开式中各项系数的和为1－a＝2，得a＝－1，则5展开式中含x4项的系数即是5展开式中的含x3项与含x5项系数的和.又5展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－2r，令5－2r＝3，得r＝1，令5－2r＝5，得r＝0，将r＝1与r＝0分别代入通项，可得含x3项与含x5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x4项的系数为－80＋32＝－48.
答案：－48
(二)交汇专练——融会巧迁移
4.[与复数交汇]设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019＝(　　)
A.i B.－i
C.－1＋i D.－i－1
解析：选D　因为x＝＝＝－1＋i，所以Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 019＝(1＋x)2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i2 019－1＝－i－1.
5.[与导数交汇]已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A.39　　　　　　　　　 B.310
C.311 D.312
解析：选D　对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312.
6.[与定积分交汇]设a＝2xdx，则二项式6展开式中的常数项为________.
解析：a＝ 2xdx＝x2＝1，则二项式6＝6，其展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝(－1)rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为(－1)4C＝15.
答案：15