2020版高考数学（文）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第五节　三角恒等变换

第五节　三角恒等变换
[考纲要求]
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．　　　
突破点一　三角函数求值


1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2.二倍角公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
变形：cos2α＝，
sin2α＝
T2α
tan 2α＝

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
二、填空题
1．已知tan α＝2，则tan＝________.
解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝.
答案：
2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．
解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.
法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.
答案：
3.cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.
解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.
答案：
4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．
解析：由题可知，tan α＝＝2，
∴tan 2α＝＝－.
答案：－


考法一　三角函数式的化简求值　
1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[例1]　(1)＝(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D.
(2)化简：＝________ .
[解析]　(1)
＝
＝
＝sin 30°＝.
(2)法一：原式
＝
＝
＝
＝1.
法二：原式＝
＝
＝＝＝1.
[答案]　(1)C　(2)1
[方法技巧]　三角函数式的化简要遵循“三看”原则

考法二　三角函数的给值求值(角)　
[例2]　(1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)∵α，β均为锐角，∴0