2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第十一章第五节“概率与统计”大题增分策略

第五节“概率与统计”大题增分策略

概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键：一是能读懂、理解陈述的材料，深刻理解题意，将文字语言转化为数学语言；二是能将转化后的数学语言构建为数学模型，化新情景问题为已学知识，找到解题突破口；三是还需具备快速准确的计算能力，具备足够的心理定力.为突破“概率与统计”这一高考大题，本节将分设两课时给予突破：第一课时——解题能力“过三关”(从必备技能上给予指导)；第二课时——高考命题“三交汇”(从考查题型上给予点拨).
第一课时　解题能力“过三关”(审答怎么办)

文字关——抓关键语句，破干扰信息

[例1]　调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性.现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意.再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级.为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号
1
2
3
4
5
(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(0,1,1)
(1,2,1)

人员编号
6
7
8
9
10
(x，y，z)
(1,2,2)
(1,1,1)
(1,2,2)
(1,0,0)
(1,1,1)
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其数学期望.
[解]　(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名.
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝.
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
综合指标
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3
其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.

本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：
(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)；
(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x，y，z，ω所指什么)；
(3)明确题目所求内容.　　　　

图表关——会转换信息，建解题模型

[例2]　(2019·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
10
5
5
20
15
5

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，a＝950.记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元：
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
[解]　(1)由题意可知，X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a.
由统计数据可知：
P(X＝0.9a)＝，P(X＝0.8a)＝，P(X＝0.7a)＝，
P(X＝a)＝，P(X＝1.1a)＝，P(X＝1.3a)＝.
所以X的分布列为
X
0.9a
0.8a
0.7a
a
1.1a
1.3a
P







所以E(X)＝0.9a×＋0.8a×＋0.7a×＋a×＋1.1a×＋1.3a×＝＝≈942.
(2)①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P＝3＋C××2＝.
②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为－5 000,10 000.
所以Y的分布列为
Y
－5 000
10 000
P



所以E(Y)＝(－5 000)×＋10 000×＝5 000，所以该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E(Y)＝500 000元.

概率与统计问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)，解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题.　　　　

计算关——重计算能力，防不慎失分

[例3]　某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1 000名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取45名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时)，B类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时)，C类(课余不参加体育锻炼)，调查结果如表：

A类
B类
C类
男生
18
x
3
女生
8
10
y

(1)求出表中x，y的值；
(2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关.

男生
女生
总计
A类



B类和C类



总计




(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率.
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635

[解]　(1)由题意，＝，21＋x＋18＋y＝45，
∴x＝4，y＝2.
(2)2×2列联表如下所示：

男生
女生
总计
A类
18
8
26
B类和C类
7
12
19
总计
25
20
45
∴K2＝≈4.664＞3.841，
∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关.
(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取3人进一步了解情况，有C＝10种情况，选取三人中男女都有且男生比女生多，有CC＝6种情况，故所求概率为＝0.6.

(1)本例在计算K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示的值.
(2)利用最小二乘法求“”时，应注意避免计算出错.　　　　
第二课时　高考命题“三交汇”(高考怎么考)

[典例]　高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20

(1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥2”的概率.
[解]　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
1－P(A)＝.
(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2.
由(1)知，P(X＝0)＝，
又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
从而X的分布列为
X
0
1
2
P



E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为p＝＝，
由题意知，Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.

高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.　　　　
[过关训练]
(2018·聊城模拟)2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿.微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18～36岁之间.为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量
频数
频率
0至5个
0
0
6至10个
30
0.3
11至15个
30
0.3
16至20个
a
c
20个以上
5
b
合计
100
1

(1)求a，b，c的值；
(2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；
(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望E(X).
解：(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，
b＝＝0.05，c＝＝0.35.
(2)记“这2 人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则P(A)＝＝，
所以这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为.
(3)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P＝.
X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2·1＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

[典例]　某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图.
等级
不合格
合格
得分
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
频数
6
a
24
b

(1)求a，b，c的值；
(2)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)；
(3)某评估机构以指标M来评估该校安全教育活动的成效.若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
[解]　(1)由题知，样本容量为＝60，b＝60×(0.01×20)＝12，a＝60－6－12－24＝18，c＝＝0.015.
(2)在评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生人数为×10＝4，“合格”的学生人数为10－4＝6.
由题意可得ξ的所有可能取值为0,5,10,15,20.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝15)＝＝，P(ξ＝20)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
5
10
15
20
P






E(ξ)＝0＋5×＋10×＋15×＋20×＝12.
(3)D(ξ)＝(0－12)2×＋(5－12)2×＋(10－12)2×＋(15－12)2×＋(20－12)2×＝16.所以M＝＝＝0.75＞0.7，则认定教育活动是有效的
在(2)的条件下，可知该校不用调整安全教育方案.

(1)概率常与随机抽样、双图(频率分布直方图、茎叶图)、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率.
(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率.条件概率的公式需记牢，易混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制.已知第一局乙获胜，求甲获胜的概率.”易得甲获胜的概率P＝3＋×C2×＝.　　　　
[过关训练]
　(2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：
x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12

(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时y的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
参考公式：＝，＝－.
解：(1)散点图如图所示.

(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
＝＝＝1.1，
所以＝7.6－1.1×6＝1，
所以线性回归方程为 ＝1.1x＋1，
故当x＝20时，＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4＞0，
所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P




E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

[典例]　为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围/度
(0,210]
(210,400]
(400，＋∞)

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410

(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.
[解]　(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元).
(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由题意知，从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数X满足X～B，可知
P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10).
由
解得≤k≤，k∈N*.
所以当k＝6时，概率最大，即抽到6户的用电量为第一阶梯的可能性最大.
　　
1.(变设问)其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量n(n∈N)的函数解析式f(n).
解：因为当0＜n≤210时，f(n)＝0.5n；
当210＜n≤400时，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×0.6＝0.6n－21；
当n＞400时，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×0.8＝0.8n－101，
所以f(n)＝
2.设甲投球命中的概率为p.
(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，试求p的取值范围.
解：由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范围为.
(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是吗？
解：不可能.P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤
203＝＜.
(3)[与导数交汇]记甲3次投球中恰有2次投中的概率为q，则当p取何值时，q最大？
解：由题意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2,0＜p＜1，则q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在上q＝－3p3＋3p2为增函数，在上q＝－3p3＋3p2为减函数，故当p＝时，q取得最大值.
[过关训练]
　经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的均值.
解：(1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150时.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T的分布列为
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
0.2
0.3
0.4

所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.


1.(2019·湖北七市协作体联考)甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.
(1)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位：元)分别表示为日销售件数n的函数关系式；
(2)从两家公司各随机抽取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图：

若将该频率视为概率，请回答下列问题：
①记乙公司一名员工的日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；
②某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
解：(1)由题意得，甲公司一名推销员的日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝80＋n(n∈N*)；
乙公司一名推销员的日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式为y＝
(2)①记乙公司一名员工的日工资为X(单位：元)，由条形图得X的可能取值为120,128,144,160，
P(X＝120)＝＝0.2，P(X＝128)＝＝0.3，
P(X＝144)＝＝0.4，P(X＝160)＝＝0.1，
所以X的分布列为
X
120
128
144
160
P
0.2
0.3
0.4
0.1

所以E(X)＝120×0.2＋128×0.3＋144×0.4＋160×0.1＝136.
②由条形图知，甲公司一名员工的日均销售量为
42×0.2＋44×0.4＋46×0.2＋48×0.1＋50×0.1＝45(件)，
所以甲公司一名员工的日均工资为125元.
由①知乙公司一名员工的日均工资为136元.故应该应聘乙公司.
2.(2019·西安质检)基于移动互联网技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验.某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
月份
2018.8
2018.9
2018.10
2018.11
2018.12
2019.1
月份代码x
1
2
3
4
5
6
市场占有率y(%)
11
13
16
15
20
21


(1)请在给出的图中作出散点图，并用相关系数说明能否用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年2月份的市场占有率.
参考数据：(xi－)2＝17.5，(xi－)(yi－)＝35，
≈36.5.
参考公式：相关系数r＝；
回归直线方程为＝x＋，其中＝，＝－.
解：(1)作出散点图如下.

＝＝16，∴(yi－)2＝76，
∴r＝＝＝≈≈0.96.
∴两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合市场占有率y与月份代码x之间的关系.
(2)由已知得，＝＝＝2，
＝＝3.5，
∴＝－＝16－2×3.5＝9，
∴y关于x的线性回归方程为＝2x＋9.
又2019年2月的月份代码为x＝7，
∴＝2×7＋9＝23，
∴估计该公司2019年2月份的市场占有率为23%.
3.(2018·芜湖一模)某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70,7.52)，数学成绩的频数分布直方图如下：

(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；
(2)如果成绩大于85分的学生为优秀，这200名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？
(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望.
附参考公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.96.
解：(1)数学成绩的平均分为(0.012×45＋0.02×55＋0.025×65＋0.035×75＋0.006×85＋0.002×95)×10＝65.9(分)，
根据语文成绩服从正态分布N(70,7.52)，知语文成绩的平均分为70分，所以语文的平均分高些.
(2)语文成绩优秀的概率为P1＝P(X＞85)＝(1－0.96)×＝0.02，数学成绩优秀的概率为P2＝×10＝0.05，所以语文成绩优秀的人数为200×0.02＝4(人)，数学成绩优秀的人数为200×0.05＝10(人).
(3)语文、数学两科都优秀的有4人，数学单科优秀的有6人，ξ所有可能的取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4.(2019·宝鸡模拟)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如表所示，且ξ1的期望E(ξ1)＝120；
ξ1
110
120
170
P
m
0.4
n

若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p.若乙项目产品价格一年内调整的次数X与ξ2的关系如表所示：
X
0
1
2
ξ2
41.2
117.6
204.0

(1)求m，n的值；
(2)求ξ2的分布列；
(3)若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围.
解：(1)由题意得
解得
(2)ξ2的所有可能取值为41.2,117.6,204.0.
根据题意，P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，
P(ξ2＝204)＝p(1－p).
随机变量ξ2的分布列为
ξ2
41.2
117.6
204.0
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)

(3)由(2)可得，E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6，
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，
所以E(ξ2)＞E(ξ1)，所以－10p2＋10p＋117.6＞120，
解得0.4＜p＜0.6，
所以p的取值范围是(0.4,0.6).