2020版高考数学一轮复习课后限时集训33《基本不等式》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(三十三)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2018·武汉模拟)下列命题中正确的是(    )A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4D　[由x＞0知3x＋≥4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，则2－3x－≤2－4，因此函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－4，故选D.]2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(    )A.           　B．4   　C.   　      D．5C　[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C.]3．(2018·太原模拟)已知x，y为正实数，则＋的最小值为(    )A.            B.   C.         D．3D　[＋＝＋－1≥3，当且仅当＝，即x＝3y时，等号成立．故选D.]4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(    )A．R<P<Q           B．Q<P<RC．P<Q<R   D．P<R<QC　[∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]5．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(    )A．80元          B．120元   C．160元   D．240元C　[设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C.]二、填空题6．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．8　[∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．故2a＋b的最小值为8.]7．(2019·徐州模拟)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a的最大值为________．　[a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝，当且仅当a＝，且2a2＋b2＝3，即a2＝1，b2＝1时，等号成立．故a的最大值为.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．20　[每次都购买x吨，则需要购买次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．[解]　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.当x<时，有3－2x>0，∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.B组　能力提升1．已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(    )A．24           B．32C．20   D．28C　[∵x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×2＋2－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号．∴x＋y的最小值为20.]2．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．4　[∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即时取得等号．故的最小值为4.]3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)乙　[甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝.∵－＝≥0，且两次购买的单价不同，∴a≠b，∴－＞0，∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．]4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(单位：万元)．当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解]　(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－，则L(x)＝(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950，此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，当且仅当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000.因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元．