2020版高考数学一轮复习课后限时集训26《平面向量的数量积与平面向量应用举例》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(二十六)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(    )A．－           B．0      C.      D．3A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．(2019·合肥模拟)已知不共线的两个向量a，b满足|a－b|＝2且a⊥(a－2b)，则|b|＝(    )A.          B．2   C．2   D．4B　[由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝|a|2－2a·b＝0.又∵|a－b|＝2，∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4，则|b|2＝4，|b|＝2，故选B.]3．(2019·昆明模拟)已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，－2)，则·＝(    )A．－6          B．－3   C．3   D．6B　[＝(2,2)，＝(1，－2)，则＝＋＝(3,0)，又＝(－1，－4)，所以·＝3×(－1)＋0×(－4)＝－3.故选B.]4．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1，2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(    )A.           B．－C.   D．－D　[∵＝(－1,1)，＝(3,2)，∴在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝＝－.故选D.]5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(    )A.         B.   C.   D.C　[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，∴2|a|2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∵0≤〈a，b〉≤π.∴〈a，b〉＝.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]7．已知a＝，b＝，则|a－b|＝________.　[由题意知|a|＝|b|＝1，a·b＝coscos＋sinsinπ＝cos＝cos＝－.所以|a－b|2＝a2－2a·b＋|b|2＝2＋2×＝3，即|a－b|＝.]8．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·＝________.2　[由S△ABC＝||||sin A＝得sin A＝，又A∈，则A＝，故·＝||||cos A＝4×1×＝2.]三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．[解]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又因为|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又因为||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝||·||sin∠ABC＝×4×3×＝3.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.(1)求sin A的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．[解]　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，化简得cos A＝－.因为0＜A＜π，所以sin A＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7(舍去)，故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝.B组　能力提升1．(2019·黄冈模拟)已知＝(cos 23°，cos 67°)，＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC的面积为(    )A．2            B.      C．1      D.D　[因为＝(cos 23°，sin 23°)，＝(2sin 22°，2cos 22°)，所以cos〈，〉＝＝sin 45°＝.所以与的夹角为45°，故∠ABC＝135°.所以S△ABC＝||||sin 135°＝×1×2×＝，故选D.]2．(2019·太原模拟)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(    )A．0         B.   C.   D.B　[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.]3．已知点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，则·＝________.6　[因为点O为△ABC的外心，且||＝4，||＝2，所以·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉＝||||×－||||×＝6.]4．(2019·合肥模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a，b，c成等比数列，cos B＝.(1)求＋的值；(2)设·＝，求a＋c的值．[解]　(1)由cos B＝，0＜B＜π得sin B＝＝，∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，由正弦定理，可得sin2B＝sin Asin C，于是＋＝＋＝＝＝＝＝.(2)由·＝得cacos B＝，而cos B＝，∴b2＝ac＝2，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，∴a2＋c2＝5，∴(a＋c)2＝5＋2ac＝9，∴a＋c＝3.