【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第18讲 重叠问题 人教版（含答案）

第十八讲  重叠问题 第一部分：趣味数学 灰太狼的诡计 灰太狼去参加羊村举行的运动会。在百米赛跑中，灰太狼得了第四名，很生气。第二天，灰太狼找到冠军喜羊羊，对他说：“咱俩再比一比，如果这次你还是第一，我才佩服你呢！”他俩来到操场。       灰太狼说：“我沿着整个操场跑一圈是200米。你沿着东操场跑两圈，也是200米。” “行。开始吧！”喜羊羊说道。 结果灰太狼先跑完全程，得了第一。喜羊羊想不通，说：“我比你跑得快，怎么今天没跑过你呢？”小朋友们，你们知道是怎么回事吗？快来帮帮喜羊羊吧！分析：灰太狼跑了4个34米和2个32米，喜羊羊跑了4个34米和4个32米，比灰太狼多跑了2个32米。答案：灰太狼：4×34+2×32=136+64=200（米）喜羊羊：4×34+4×32=136+128=264（米）所以灰太狼跑得快，得了第一。 第二部分：奥数小练 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？【思路导航】根据题意，画出下图：   从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。练习1：1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？  【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意，画出下图：     由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。练习2：1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？ 【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？  【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。练习3：1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米？ 3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长多少厘米？     【例题4】一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？【思路导航】根据题意，画出下图：   图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。练习4：1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？ 2.两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？            三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10名。两种棋都会下的有多少名？ 【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？【思路导航】根据题意，画出下图：    从上图可以看出，中间重叠部分表示两份报纸都订的10人，这10人既被包括在订《数学报》的32人内，又被包括在订《阅读报》的30人内，重复算了一次，所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人。所以全班人数应是62－10=52人。练习5：1.三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？ 2.两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？   3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？  第三部分：数学史话 　  分数之“根”——分数的起源（二）在日常生活中进行测量、分物体的时候，往往不能正好得到整数，这时就常用分数来表示。你知道分数是怎么产生的吗？分数的产生经历了一个漫长的过程。在原始社会,人们集体劳动要平均分配果实和猎物,逐渐有了分数的概念。在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中,当所用的长度单位不能量尽所量线段时,便产生了分数。人类在生产劳动的长期实践活动中,只使用了简单的分数，如二分之一用“一半”来表示,四分之一是用“一半的一半”来表示,经过了相当长的一段时间后,才出现了诸如二分之一、三分之二等分数。大约在2000年前，古希腊人已经开始用分子和分母表示分数。分数在我国很早就有了，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。继中国的筹算分数之后，又过了五六百年的时间，印度才出现了有关分数理论的论述。印度人记录分数的形式与我国古代的筹算分数是一样的，只不过使用的是阿拉伯数字。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示方法就成为现在这样了。200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成3等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成3等份，每份是米。像就是一种新的数，我们把它叫做分数。为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，1个西瓜4个人平均分，不把它分成相等的4块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。中国使用分数比其他国家要早出一千多年，所以说中国有着悠久的历史，灿烂的文化。大约在十二世纪后期在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子、分母隔开来，这可以说是世界上最早的分数线，十三世纪初，意大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数学，也把分数的记法介绍到了欧洲。综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。参考答案：练习一：1.4+7－1＝10（个）2.12+21－1－32（个）3.6+6－1＝11（个） 练习二：1.7×7=49(人)，答：跳舞的共有49人。分析：据小红的位置可以分析：小红的前后左右都有3个人，3+3+1=7人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有7个人，根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解答问题。2.2+4-1=5 表示从左到右有5人,5+3-1=7前后7人，5×7=35鲜花队，总共35人。3.4+3-1=6(个)，5+6−1=10(个)，6×10=60(个)所以做操的同学共有60个人。分析：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4+3-1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5+6-1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。练习三：1.(30+6)÷2=36÷2=18(厘米)    答：原来两段纸条各长18厘米。分析：把两段一样长的纸条粘合在一起，总长度比原来减少了重叠部分的长度即6厘米，所以原来两条的总长度是：30+6=36厘米，那么原来两段纸条各长：36÷2=18厘米；据此解答。2.（35+11）÷2=46÷2=23（厘米）答：原来两块木板各长23厘米．故答案为：23厘米；23厘米。分析：把两段一样长的木板钉在一起，总长度比原来减少了重叠部分的长度即11厘米，所以原来两块木板的总长度是：35+11=46厘米，那么原来两块木板各长：46÷2=23厘米，据此解答。3.12+66−48=78−48=30(厘米)答：另一根木棍长30厘米。分析：把两根木棍叠放在一起，总长度比原来减少了重叠部分的长度即12厘米，所以原来两条的总长度是：12+66=78厘米，那么另一根木棍长：78-48=30（厘米）；据此解答。练习四：1.36+38－55＝19（人）2.75×2−130=150−130=20(厘米)    中间重合部分是20厘米。分析：如果两块木板首尾相接，则其长度为75×2=150厘米，因为有重叠部分，长度变成130厘米，则重叠部分为150-130=20厘米，于是问题得解。3.21+17+10−42=48−42=6(人)    两种运动都会的有6人。分析:先求出会下象棋的人数与会下围棋的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种都会的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会的人数。练习五：1. 37+42−31=79−31=48(人)    三一班有学生48人。分析：根据题干分析可得，三（1）班的总人数=完成语文作业的37人+完成数学作业的42人-两种作业都做完的人数31，据此列式计算即可解答。2.90×2－15＝165（厘米）3.78+77－107   =155－107   =48(人)。答：既带矿泉水又带水果的小朋友有48人。分析：本题考查的是容斥原理的意义和实际应用。  容斥原理的意义是：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。  本题根据容斥原理的意义计算出带矿泉水和带水果的人数之和，最后再根据容斥原理的意义，用带矿泉水和带水果的人数之和减去实际的总人数，得出问题的最终答案。1.解答此题的方法依据是容斥原理，回忆容斥原理的意义和解题的方法；2.根据容斥原理的意义，计算出带矿泉水的人数与带水果的人数之和；3.再用带矿泉水的人数与带水果的人数之和减去实际的总人数，所得的差就是本题的答案。