华师大版九年级上册21.3 二次根式的加减第1课时学案

这是一份华师大版九年级上册21.3 二次根式的加减第1课时学案，共11页。学案主要包含了解题思路，方法归纳，错因分析等内容，欢迎下载使用。

第一课时


课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）


1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.


2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如的系数为1，－的系数为－1，运算时不要漏掉.


3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.


4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.


名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）


典例精析


类型一：同类二次根式


例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）


A． B． C． D．


【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵，，，∴与是同类二次根式．


【解】选D．


【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．


例2、最简根式与是同类根式，求，的值．


【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.


【解】∵与为同类根式，∴，，解方程组得，当，时，两根式都为，符合题意．


【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．


类型二：同类二次根式的合并


例2、计算：


【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.


【解】原式.


【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算.


类型三：二次根式的加减运算


例3、计算：


【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.


【解】原式 .


【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。本题中的系数不能写成，的系数不能写成.


例4、计算：


【解题思路】二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算.


【解】原式.


【方法归纳】合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或的二次根式.本题中的系数不是0，而是，另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号.


例5、计算：


【解题思路】二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答.


【解】原式


.


【方法归纳】根号内有分式加减运算时，如本题中的，不能错误地化简成，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的加减.


类型四：二次根式的混合运算


例6、计算


【解题思路】先用分配律进行二次根式乘法运算，将括号去掉，这时要注意符号的变化，再进行二次根式的加减运算.


【解】.


类型四：阅读理解题


例7、化简，甲、乙两同学的解法如下：


甲：；乙：.对于他们的解法,正确的判断是( ).


（A） 甲、乙的解法都正确 （B） 甲的解法正确，乙的解法不正确


（C） 乙的解法正确，甲的解法不正确 （D） 甲、乙的解法都不正确


【解题思路】化简分母通常有两种方法：一是应用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以一个恰当的因式（不为零），使这个因式与原分母相乘后得到一个平方差公式，然后再化简；二是把分子进行因式分解，使分子和分母能够约分，把分母中的二次根式约去，然后再化简.本题中甲使用的第一种方法，乙使用的第二种方法，因此计算都正确.


【解】A.


易错警示


1、混淆同类项与同类二次根式


例8、与是同类二次根式吗？为什么？


【错解】因为含字母，而中含字母，所以与不是同类二次根式.


【错因分析】同类二次根式判断标准是化简后被开方数相同，与根号外的因式无关，造成错解的原因显然是混淆同类项判定标准“看字母”


【正解】因为与的被开方数都是2，所以它们是同类二次根式.


2、混淆计算原则


例9、


【错解】.


【错因分析】造成错解的原因是受二次根式乘、除的影响，错误地认为二次根式相加减类似于二次根式的乘除.


【正解】


3、忽视运算过程中分母为0而致错.


例10、化简


【错解】


【错因分析】当时，分子、分母同时乘以相当于分子、分母同时乘以0.造成这种错误的原因是忽视了隐含的.


【正解】





课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）


知识点1：同类二次根式


1、如果最简二次根式与是同类根式，那么使有意义的x取值范围是（ ）


A. B. C. D.


2、若和是同类二次根式，则的值分别为 .


3、最简二次根式与能是同类二次根式吗?若能，求出的值，若不能，说明理由．














知识点2：二次根式的加减运算


4、计算：_________.


5、小明的作业本上有以下四题：（1）；（2）；（3）；（4）.其中错误的是（ ）


A、（1） B、（2） C、（3） D、（4）





6、计算下面各题：


（1） 、





（2）














（3） （4）











（5）





（6）











7、因实际需要，用钢材焊制三个面积为的正方形铁框，则需准备的钢材的总长度是多少米？








课后作业练习


一、选择题：


1、下列根式，不能与合并的是（ ）


A. B. C. D.


2、的值为( )


A．2010 B．2011 C．2009 D.2008





3、设则的值为( )


A．47 B．135 C．141 D.153





4、若x=是方程k（x－2）+12=0的解，则k的值为（ ）．


A．2（+2） B．2（－2）


C．－2（2+） D．－2（2－）


5、下列各组代数式中，两个式子相乘的积不含根号的是（ ）．


A．a+与－a B．+b与－－b


C．2－与－2 D．与


6、下列各组根式中是同类二次根式的是（ ）．


A．与


7、如果（－）的相反数与（+）互为倒数，那么（ ）．


A．│a│=│b│ B．a－b=1 C．a－b=－1 D．a、b之中必有一个为0





二、填空题：


8、要焊接如图所示的钢架，大约需要 米钢材（结果保留根号）.











9、化简： .


10、已知x==________．


11、计算2+－的结果是________．


12、已知，则的值为 .





三、解答题：


13、计算或化简：（1）（－）－（－）；




















（2）（5＋－）÷；




















（3）＋－4＋2(－1)0；























（4）（－＋2＋）÷．

















14、已知直角三角形斜边长为（2＋）cm，一直角边长为（＋2）cm，求这个直角三角形的面积．








15、已知x=+1，求（x2+）2－4（x2+）+4的值．























16、同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（-1）2=（）2-2×1×+12=2-2+1=3-2，反之，3-2=2-2+1=（-1）2， ∴3-2=（-1）2，∴=-1.


求：（1）； （2）；








（3）你会算吗？








（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．















































21.3二次根式的加减法课后作业参考答案：


1、解析：由同类二次根式的定义，得，即 ，即使有意义，需，即，故应选A.


2、


3、解：它们不能是同类二次根式．假设它们是同类二次根式，则有解此方程解得把代入原式得两根式分别为此二次根式无意义，故它们不能是同类二次根式．


4、提示：原式.


5、D


6、答案：（1）0.3 （2）－2 （3） （4） （5） 13 （6）


7、解：由题意，得：三个正方形边长分别为，故钢材的总长度为：.


课后作业答案：


1.提示：，又. 故应选B.


2.提示：原式


故B正确．


3.提示：





故C正确．


4.答案：C


5.答案：A


6.D


7.C 提示：由相反数的意义可求得－的相反数为－，再根据互为倒数的两个数的积等于1，可求得a、b的关系．


8.答案：3+7


9.答案：1－


10.答案：－1


11.答案：－


12.答案：5


13.答案：（1）．


（2）【解】原式＝（20＋2－）×＝20×＋2×－×＝20＋2－×＝22－2．


（3）【解】原式＝5＋2(－1)－4×＋2×1＝5＋2－2－2＋2＝5．


（4）【解】原式＝（－＋2＋）·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2．


14.答案：在直角三角形中，根据勾股定理，另一条直角边长为：＝3（cm）．


∴ 直角三角形的面积为：S＝×3×（）＝（cm2）





15.解：（x2+）2－4（x2+）+4=（x2+－2）2=（x－）4．


当x=+1时，原式=（+1－）4=（+1－+1）4=24=16．








16.解：（1）==+1 ；（2）==+1


（3）==-1 ；


（4） 理由：两边平方得a±2=m+n±2 ，所以.