初中数学14.2 三角形全等的判定第4课时学案及答案

这是一份初中数学14.2 三角形全等的判定第4课时学案及答案，共5页。

知识要点基础练


知识点1 判定两三角形全等的方法——“AAS”








1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是(D)


A.∠A=∠DB.BC=EF


C.∠ACB=∠FD.AC=DF





2.如图,AC,BD相交于点O,∠ABC=∠DCB,根据“ASA”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 ∠ACB=∠DBC ,根据“AAS”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 ∠A=∠D ,根据“SAS”得△ABC≌△DCB,需补充的条件是 AB=DC .


知识点2 用“AAS”判定两三角形全等的简单实际应用








3.如图,课间小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两张凳子之间(凳子与地面垂直).已知DC=a,CE=b,则两张凳子的高度之和为 a+b .


4.如图,A,B两建筑物位于河的两岸,要测得它们之间的距离,可以从B点向右出发沿河岸





画一条射线,在射线上截取BC=CD,过点D作DE∥AB,使点E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的距离,请你说明道理.





解:如图,∵DE∥AB,


∴∠A=∠E,


在△ABC和△EDC中,





∴△ABC≌△EDC(AAS),


∴DE=BA,


∴DE的长就是A,B之间的距离.


知识点3 用“AAS”判定两三角形全等的简单推理证明的应用





5.(昆明中考)如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,求证:AE=CE.


证明:∵FC∥AB,


∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE.


在△ADE和△CFE中,


∴△ADE≌△CFE(AAS),


∴AE=CE.


综合能力提升练


6.如图,∠ABC=∠DCB,需要补充一个直接条件才能使△ABC≌△DCB.甲、乙、丙、丁四位同学填写的条件分别是:甲“AB=DC”;乙“AC=DB”;丙“∠A=∠D”;丁“∠ACB=∠DBC”.那么这四位同学填写错误的是(B)





A.甲B.乙C.丙D.丁


7.如图1是玩具拼图模板的一部分,已知△ABC的六个元素,则右图中甲、乙、丙三个三角形中一定能和△ABC完全重合的是(A)





A.甲和丙B.丙和乙C.只有甲D.只有丙





8.如图,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则对于下列结论:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.其中正确的是(D)


A.①B.②C.①和②D.①②③


9.(大理中考)如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD,请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).


(1)你添加的条件是: ∠C=∠E或∠ABC=∠ADE或AC=AE或∠EBC=∠CDE或BE=DC(答案不唯一,填其中一个即可) ;


(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.





解:选∠C=∠E为条件,


理由如下:在△ABC和△ADE中,





∴△ABC≌△ADE(AAS).











10.如图,在△ACD中,AB⊥CD,BD=AB,∠DEB=∠ACB.求证:


(1)DE=AC;


(2)DE⊥AC.





证明:(1)∵AB⊥CD,∴∠ABC=∠DBE=90°,在△ACB和△DEB中,


∴△ACB≌△DEB(AAS),∴DE=AC.


(2)延长DE交AC于点F.


∵△ACB≌△DEB,∴∠CAB=∠EDB.


∵∠EBD=90°,∴∠BED+∠EDB=90°.


∵∠AEF=∠BED,∴∠AEF+∠CAB=90°.


∴∠AFE=90°.∴DE⊥AC.











11.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N.


(1)求证:MN=AM+BN;


(2)如图2,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N(AM>BN),(1)中的结论是否仍成立?说明理由.





解:(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCN=90°,又∵AM⊥MN,BN⊥MN,


∴∠AMC=∠CNB=90°,


∴∠BCN+∠CBN=90°,


∴∠ACM=∠CBN,


在△ACM和△CBN中,


∴△ACM≌△CBN(AAS),∴MC=NB,MA=NC,∵MN=MC+CN,∴MN=AM+BN.


(2)(1)中的结论不成立,结论为MN=AM-BN.理由如下:同理可证△ACM≌△CBN(AAS) ,


∴CM=BN,AM=CN,∵MN=CN-CM,


∴MN=AM-BN.





拓展探究突破练


12.【问题情境】如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明);


【特例探究】如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;


【归纳证明】如图3,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;


【拓展应用】如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 5 .





解:【特例探究】∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,


∴∠BDA=∠AFC=90°,


∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,


∴∠ABD=∠CAF.


在△ABD和△CAF中,


∴△ABD≌△CAF(AAS).


【归纳证明】∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,


∴∠ABE=∠CAF,∠AEB=∠CFA,


在△ABE和△CAF中,


∴△ABE≌△CAF(AAS).