2021届山东高考数学一轮创新教学案：第12章　第1讲　坐标系

第十二章　选修4系列

第1讲　坐标系

1.伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

1．概念辨析

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)

(2)点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为.(　　)

(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　　)

(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．小题热身

(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为(　　)

A．y＝sin2x  B．y＝3sinx

C．y＝sin  D．y＝3sin2x

答案　D

解析　由已知得代入y＝sinx，得y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.

(2)在极坐标系中A2，－，B4，两点间的距离为________．

答案　6

解析　解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，

|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.

解法二：∵A2，－，B4，的直角坐标为A(1，－)，

B(－2,2)，∴|AB|＝＝6.

(3)曲线C1：θ＝与曲线C2：ρsinθ＋＝的交点坐标为________．

答案　1，

解析　将θ＝代入ρsinθ＋＝，得ρsin＝，所以ρ＝1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为1，.

(4)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为____________________．

答案　θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2

解析　圆ρ＝2cosθ与极轴的交点的极坐标为(0,0)和(2,0)．过这两个点垂直于极轴的两条直线即为所求，它们的方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.

题型 一　平面直角坐标系中的伸缩变换

在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.

解　设伸缩变换为由题知＋＝1，即2x2＋2y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，得故所以伸缩变换为

即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.

伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．见举例说明．

提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′).

若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋，求函数y＝f(x)的最小正周期．

解　由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋得3y＝3sin2x＋，整理得y＝sin2x＋，故f(x)＝sin2x＋.所以y＝f(x)的最小正周期为＝π.

题型 二　极坐标与直角坐标的互化

以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线C于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．

解　(1)∵ρ＝，ρsinθ＝y，ρ＝可化为ρ－ρsinθ＝2，

∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

根据题意＝3·，

解得θ0＝或θ0＝，

∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).

1.求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．

(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．

(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.

2.极坐标方程与直角坐标方程的互化

(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．

(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.

3.极角的确定

由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．

(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．

(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.

(2019·武汉模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsinθ＋＝，C2：ρ2＝.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；

(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．

解　(1)由ρsinθ＋＝，得

ρsinθcos＋cosθ·sin＝.

将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式，得x＋y＝1.

故C1的直角坐标方程为x＋y＝1.

同理由ρ2＝，可得3x2－y2＝1.

故C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.

(2)解法一：设以MN为直径的圆与y轴的交点为P，则PM⊥PN.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得3x2－(1－x)2＝1，

即x2＋x－1＝0.

∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则线段MN的中点坐标为－，.

∴|MN|＝|x1－x2|＝×＝.

∴以MN为直径的圆的方程为x＋2＋y－2＝2.

令x＝0，得＋y－2＝，即y－2＝，

∴y＝0或y＝3，∴所求点P的坐标为(0,0)或(0,3)．

解法二：设以MN为直径的圆与y轴的交点为P，

则PM⊥PN.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

由得3x2－(1－x)2＝1，

即x2＋x－1＝0.

∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－1.

设A(x，y)是圆上任意一点，则

·＝(x－x1，y－y1)·(x－x2，y－y2)

＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y2－(y1＋y2)y＋y1y2

＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y2－(－x1－x2＋2)y＋x1x2－(x1＋x2)＋1

＝x2＋y2＋x－3y＝0，

∴以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＋x－3y＝0.

令x＝0，得y2－3y＝0，∴y＝0或y＝3，

∴所求点P的坐标为(0,0)或(0,3).

题型 三　极坐标方程的应用　

角度1　极径几何意义的应用

1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．

解　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，

∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式可得ρ2－4ρcosθ＝12，

∴曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＝12.

(2)设A，B两点的极坐标方程分别为ρ1，，ρ2，，由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，

∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.

角度2　用极坐标解最值和取值范围问题

2.已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若直线l：θ＝α(α∈[0，π)，ρ∈R)与圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．

解　(1)由圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4.及x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得ρ2＋2ρ(cosθ－sinθ)－2＝0.

(2)由得ρ2＋2ρ(cosα－sinα)－2＝0.

设点A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，

则ρ1＋ρ2＝2(sinα－cosα)＝2sinα－.

由|OM|＝，得|OM|＝sinα－≤.

因为α∈[0，π)，

所以当α＝时，|OM|取得最大值，最大值为.

极坐标方程及其应用的类型及解题策略

(1)求极坐标方程．可在平面直角坐标系中，求出曲线的方程，然后再转化为极坐标方程．

(2)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．

(3)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．

1.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．

解　(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x.

由ρ＝2cosθ＋2sinθ，得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.

由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入上式

得(x－)2＋(y－1)2＝4.

所以曲线C的参数方程为(α为参数)．

(2)由得|OA|＝4.

同理，|OB|＝2.

又∠AOB＝，

所以S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝2，

即△AOB的面积为2.

2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，

则C1的极坐标方程为

ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，

故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)由得

ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，

设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，

则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

　组　基础关

1.在极坐标系中，已知圆C经过点P2，，圆心C为直线ρsinθ－＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

解　在直线ρsinθ－＝－中，

令θ＝0得ρ＝2.所以圆C的圆心坐标为C(2,0)．

因为圆C经过点P2，，

所以圆C的半径|PC|＝＝2，

所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

2.设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsinθ＋＝上的动点，求M，N的最小距离．

解　因为M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsinθ＋＝上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为－1＝－1.

3.(2019·甘肃省会宁二中模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.

(1)求直线l的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．

解　(1)由得y＝x，

∴在平面直角坐标系中，

直线l经过坐标原点，倾斜角是，

因此，直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．

(2)把θ＝代入曲线C的极坐标方程

ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得ρ2－ρ－3＝0，

由一元二次方程根与系数的关系，得

ρ1＋ρ2＝，ρ1ρ2＝－3，

∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝

＝＝.

4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：

(m>0，α为参数)，直线C2：y＝x，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；

(2)直线C3：θ＝(ρ∈R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，△OAB的面积为6，求实数m的值．

解　(1)由题意消去曲线C1的参数α，

得曲线C1的普通方程为(x－m)2＋y2＝m2.

∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2mcosθ.

直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)由得∴Am，.

由得∴B－m，－.

∴S△OAB＝ρA·|ρB |·sin∠AOB＝6，

即·m·m·sin＝6，解得m2＝8.

又m>0，∴m＝2.

　组　能力关

1.(2020·贵州适应性测试)在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)过原点且倾斜角为α<α≤的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．

解　(1)由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，

两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，

故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.

(2)射线l的极坐标方程为θ＝α，<α≤，

把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得

|OA|＝ρ＝4cosα，

把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得

|OB|＝ρ＝，

∴|OA|·|OB|＝4cosα·＝4tanα.

∵<α≤，∴|OA|·|OB|的取值范围是，4.

2.(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.

(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，

所以当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.

由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.

设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．

在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.

经检验，点P在曲线ρcos＝2上，

所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.

(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，

|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，

即ρ＝4cosθ.

因为P在线段OM上，且AP⊥OM，

所以θ的取值范围是.

所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.

3.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＋y－1＝0，曲线C2：(φ为参数，a>0)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；

(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈0，，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点．若|OB|＝3|OA|＋，求a的值．

解　(1)由消去参数φ，

得C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2.

∴C2是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴C2的极坐标方程为(ρcosθ)2＋(ρsinθ－1)2＝a2，

即C2的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，tanα0＝2，α0∈，

∴曲线C3的直角坐标方程为y＝2x(x>0)，

sinα0＝.

由解得

∴A，.∴|OA|＝.

∵|OB|＝3|OA|＋，∴|OB|＝2.

故点B的极坐标为(2，α0)，

代入ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，得a＝.

4.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.

(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．

解　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，

M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，

M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.

(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知

若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；

若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；

若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.

综上，P的极坐标为或或或.