2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第5讲　指数与指数函数

第5讲　指数与指数函数 [考纲解读]　1.理解有理指数幂的含义，掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3．通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型． [考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2021年高考主要以函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向，也有可能与其他知识相结合进行考查．    对应学生用书P0241.根式    n次方根定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，n∈N*性质当n是奇数时，a的n次方根为x＝当n是偶数时，正数a的n次方根为x＝±，负数的偶次方根没有意义0的任何次方根都是0，记作 ＝0根式定义式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数性质当n＞1且n∈N*时，()n＝a(n为偶数时，a≥0)；当n＞1且n为奇数时，＝a(a∈R)；当n＞1且n为偶数时，＝|a|＝2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．②正数的负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3.指数函数的图象与性质y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数1.概念辨析(1)已知π为圆周率，则＝π－5.(　　)(2)[(－2)6]＝(－2)6×＝(－2)3＝－8.(　　)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2.小题热身(1)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)答案　C解析　函数y＝ax－a的图象过点(1,0)，排除A，B，D.(2)化简 的结果是________．答案　－解析　由题意得x<0，所以＝＝＝＝－.(3)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.答案　解析　依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝.(4)若指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．答案　(－2，－1)解析　因为指数函数f(x)＝(a＋2)x为减函数，所以0<a＋2<1，解得－2<a<－1.所以实数a的取值范围是(－2，－1).  对应学生用书P025题型 一　指数幂的化简与求值1.化简：(a2·)÷(·)＝________.(用分数指数幂表示)答案　a解析　(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a.2. ＋0.002－－10×(－2)－1－0＋[(－2)3]－的值为________．答案　－18.25解析　原式＝＋500－10×(＋2)－1＋(23)－＝＋10－10－20－1＋2－2＝2.5－21＋0.25＝－18.25.3.若x＋x－＝3，则的值为________．答案　解析　由x＋x－＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.因为x＋x－＝(x＋x－)3－3(x＋x－)＝27－9＝18，所以原式＝＝.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．如举例说明1.(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．如举例说明2.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．如举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.化简a·＋()5＋的值为________．答案　－解析　由题意，得a<0，所以原式＝a·＋a＋|a|＝a··＋a－a＝－.2.已知＋b＝1，则＝________.答案　3解析　由＋b＝1，得b＝1－，所以＝32a×31－×3－＝32a＋1－－＝3.题型 二　指数函数的图象及应用　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2019·贵阳监测)已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　)A.(1,6)  B．(1,5)C.(0,5)  D．(5,0)答案　A解析　由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6).2.函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)答案　A解析　函数f(x)＝21－x在R上是减函数，其图象过点(0,2)，故选A.条件探究　将本例中的函数改为“f(x)＝2|x－1|”，其图象是(　　)答案　B解析　因为f(x)＝2|x－1|＝所以f(x)在(－∞，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故排除A，C，D.3.已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，给出下列5个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的关系式有(　　)A.1个  B．2个  C．3个  D．4个答案　C解析　实数a，b满足等式2019a＝2020b，即y＝2019x在x＝a处的函数值和y＝2020x在x＝b处的函数值相等．由图可知，当a＜b＜0，a＝b＝0或0＜b＜a时，即①②⑤都可能成立.1.准确把握指数函数图象的特征(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．如举例说明3.2.关注含参指数型函数图象恒过定点问题(1)依据：恒等式a0＝1(a≠0)．(2)方法：求形如f(x)＝M·akx＋b＋N的图象恒过的定点，首先由kx＋b＝0求定点的横坐标，然后计算定点纵坐标．如举例说明1.3.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．如举例说明2.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．如举例说明3. 1.函数y＝3x，y＝5x，y＝x在同一坐标系中的图象是(　　)答案　B解析　沿直线x＝1，自下而上先后为y＝x，y＝3x，y＝5x的图象．故选B.2.已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是(　　)A.1  B．2  C．4  D．8答案　C解析　∵指数函数y＝ax的图象关于y轴对称的图象的解析式为y＝a－x，且函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，∴x＝a－x＝x，∴＝，2a－4＞0且2a－4≠1，a＞0且a≠1，∴a＝4.题型 三　指数函数的性质及其应用　角度1　比较指数幂的大小1.(2019·许昌四校联考)设a，b满足0＜a＜b＜1，则下列不等式中正确的是(　　)A.aa＜ab  B．ba＜bb  C．aa＜ba  D．bb＜ab答案　C解析　指数函数y＝ax(0＜a＜1)为减函数，因为a＜b，所以aa＞ab，A错误；指数函数y＝bx(0＜b＜1)为减函数，因为a＜b，所以ba＞bb，B错误；幂函数y＝xa(0＜a＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以aa＜ba，C正确；由幂函数y＝xb(0＜b＜1)在(0，＋∞)上为增函数，又a＜b，所以bb＞ab，D错误.角度2　解指数不等式2.不等式2－x2＋2x>x＋4的解集为________．答案　{x|－1<x<4}解析　∵2－x2＋2x>x＋4，∴x2－2x>x＋4，∴x2－2x<x＋4，∴x2－3x－4<0，解得－1<x<4.角度3　探究指数型函数的性质3.已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.1.比较幂值大小的常见类型及解决方法同底不同指利用指数函数单调性进行比较同指不同底利用幂函数单调性进行比较既不同底又不同指常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小 2.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．如举例说明2.3.两类复合函数的最值(或值域)问题(1)形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．(2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)型函数最值问题，可令t＝f(x)，则y＝at，先由x的取值范围求t的取值范围，再求y＝at的最值.4.对于形如y＝af(x)的函数的单调性(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；(2)若0<a<1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调减(增)区间．如举例说明3(1).1.(2019·凌源模拟)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)A.b＜c＜a  B．a＜b＜cC.a＜c＜b  D．c＜a＜b答案　A解析　因为函数y＝x在R上单调递减．所以＜，即b＜c.又函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，即c＜a.综上，b＜c＜a.2.设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．答案　(－3,1)解析　当a<0时，不等式f(a)<1可化为a－7<1，即a<8，即a<－3，∴a>－3.又a<0，∴－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为<1.∴0≤a<1，综上，a的取值范围为(－3,1).3.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．答案　3解析　设ax＝t，∵a＞1，x∈[－1,1]，∴t∈.∵y＝a2x＋2ax－1＝(ax)2＋2ax－1，∴函数化为y＝t2＋2t－1.由二次函数性质得对称轴为直线t＝－1，∴函数在t∈上单调递增，∴当t＝a时，函数取得最大值a2＋2a－1.∵函数最大值为14，∴a2＋2a－1＝14.解得a＝3或a＝－5，∵a＞1，∴a＝3.  对应学生用书P226　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　组　基础关1.设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)A.a  B．a  C．a  D．a答案　C解析　原式＝＝＝a2－＝a.2.(2020·上饶摸底)已知a＝20.4，b＝90.2，c＝()3，则(　　)A.a＜b＜c  B．a＜c＜b  C．c＜a＜b  D．c＜b＜a答案　A解析　因为c＝()3＝3＝30.75＞30.4，b＝90.2＝30.4，所以b＜c，又20.4＜30.4，即a＜b，所以a＜b＜c.3.(2019·宜宾模拟)若函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，则m＋n＝(　　)A.3  B．1  C．－1  D．－2答案　C解析　因为函数f(x)＝2·ax＋m－n(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(－1,4)，所以－1＋m＝0，且2·a0－n＝4.解得m＝1，n＝－2，所以m＋n＝－1.4.函数y＝ax(a＞0且a≠1)与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是(　　)答案　C解析　两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A，D；二次函数的对称轴为直线x＝，当0＜a＜1时，指数函数单调递减，＜0，C符合题意；当a＞1时，指数函数单调递增，＞0，B不符合题意，故选C.5.已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　当a＜1时，41－a＝21，所以a＝；当a＞1时，4a－1＝2a－(1－a)，无解．故选B.6.设x>0，且1<bx<ax，则(　　)A.0<b<a<1  B．0<a<b<1C.1<b<a  D．1<a<b答案　C解析　∵x>0时，1<bx，∴b>1.∵x>0时，bx<ax，∴x>0时，x>1.∴>1，∴a>b，∴1<b<a.7.已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于(　　)A.1  B．a  C．2  D．a2答案　A解析　∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.8.(2020·中山一中摸底)化简：(2·)(－6·)÷(－3·)＝________.答案　4a解析　原式＝(2a·b)(－6ab)÷(－3ab)＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4a.9.函数f(x)＝的定义域为________．答案　(2，＋∞)解析　由解得x＞2.所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞).10.(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，>0，则a的取值范围是________．答案　(0,1)∪(2，＋∞)解析　由题意知f(x)在R上是单调递增函数，当0<a<1时，a－2<0，y＝ax单调递减，所以f(x)单调递增；当1<a<2时，a－2<0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递减；当a＝2时，f(x)＝0；当a>2时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递增．故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞).　组　能力关1.(2019·菏泽联考)函数y＝2x－x2的值域为(　　)A.  B.C.  D．(0,2]答案　A解析　因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，所以2x－x2≥1＝.所以函数y＝2x－x2的值域为.2．(2020·湖南株洲月考)如图，四边形OABC是面积为8的平行四边形，AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点E，B，则a＝(　　)A.  B.  C．2  D．3答案　A解析　设C(0，yC)，因为AC⊥CO，则设A(xA，yC)，于是B(xA,2yC)，E.因为平行四边形OABC的面积为8，所以yC·xA＝8，因为点E，B在y＝ax的图象上，则axA＝2yC，a＝yC，所以y＝2yC，解得yC＝2或yC＝0(舍去)，则xA＝4，于是a4＝4，因为a>0，所以a＝.3.若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)A.(－∞，－1)  B．(－1,0)C.(0,1)  D．(1，＋∞)答案　C解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1).4.定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]长度的最小值为________．答案　2解析　∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，∴0∈[a，b].2和－2至少有一个属于区间[a，b]，故区间[a，b]的长度最小时为[－2,0]或[0,2]．即区间[a，b]长度的最小值为2.5.若存在正数x，使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是________．答案　(－1，＋∞)解析　由2x(x－a)＜1，得a＞x－.令f(x)＝x－，即a＞f(x)有解，则a＞f(x)min.又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(0)＝－1，所以a＞－1.6.已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，求实数a的取值范围．解　①当0<a<1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图1.若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<.②当a>1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象如图2，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是.