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    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第5讲 计数原理和二项式定理

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    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第5讲 计数原理和二项式定理

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    5讲 计数原理和二项式定理 [2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171计数原理、排列、组合     江苏高考对两个计数原理、排列、组合和二项式定理的考查往往与集合数列概率进行综合出现在第23题中难度大涉及二项式定理主要题目类型是:(1)证明某些整除问题或求余数;(2)证明有关不等式.也可能会与概率数学归纳法综合在一起考查.2.二项式定理22  1排列与组合(1)排列:从n个不同元素中任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是An(n1)(n2)(nm1)或写成A(2)组合:从n个不同元素中任取m(mn)个元素并成一组叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C或写成C(3)组合数的性质:CCCCC2二项式定理(1)定理(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(r012n)(2)二项展开式的通项Tr1Canrbrr012n其中C叫做二项式系数.(3)二项式系数的性质对称性:与首末两端等距离两项的二项式系数相等CCCCCC最大值:当n为偶数时中间一项的二项式系数Cn取得最大值;当n为奇数时中间的两项的二项式系数CnCn相等且同时取得最大值.各二项式系数的和()CCCCC2n()CCCCCC·2n2n1计数原理、排列、组合[典型例题] (2019·南通密卷)P1P2Pj为集合P{12i}的子集其中ij为正整数.记aij为满足P1P2∩…∩Pj的有序子集组(P1P2Pj)的个数.(1)a22的值; (2)aij的表达式.】 (1)由题意得P1P2为集合P{12}的子集因为P1P2所以集合P{12}中的元素1共有如下3种情形:1P11P21P11P21P11P2同理可得集合P{12}中的元素2也有3种情形根据分步乘法原理得a223×39(2)考虑P{12i}中的元素1有如下情形:1不属于P1P2Pj中的任何一个C种;1只属于P1P2Pj中的某一个C种;1只属于P1P2Pj中的某两个C种;1只属于P1P2Pj中的某(j1)C根据分类加法原理得元素1共有CCCC2j1种情形同理可得集合P{12i}中其他任一元素均有(2j1)种情形根据分步乘法原理得aij(2j1)i在解决综合问题时可能同时应用两个计数原理即分类的方法可能要运用分步完成分步的方法可能会采取分类的思想求.分清完成该事情是分类还是分步间互相独立间互相联系.[对点训练]1(2019·无锡三校联考)nN*n4集合M{123n}的所有3个元素的子集记为A1A2AC(1)求集合A1A2AC中所有元素之和S(2)miAi(i12C)中最小元素与最大元素之和的值.[] (1)因为含元素1的子集有C同理含234n的子集也各有C于是所求元素之和为(123n)×C(n22n)(n21)(2)集合M{123n}的所有3个元素的子集中:1为最小元素的子集有Cn为最大元素的子集有C个;2为最小元素的子集有Cn1为最大元素的子集有C个;n2为最小元素的子集有C3为最大元素的子集有C个.所以mim1m2mC(n1)(CCC)(n1)(CCCC)(n1)(CCCC)(n1)C所以n1.所以2 01612 017二项式定理[典型例题] (2019·高考江苏卷)(1x)na0a1xa2x2anxnn4nN*.已知a2a2a4(1)n的值;(2)(1)nab其中abN*a23b2的值.证明】 (1)因为(1x)nCCxCx2Cxnn4a2Ca3Ca4C因为a2a2a4所以2××解得n5(2)(1)n5(1)n(1)5CCC()2C()3C()4C()5ab法一:因为abN*所以aC3C9C76bC3C9C44从而a23b27623×442=-32法二:(1)5CC()C()2C()3C()4C()5CCC()2C()3C()4C()5因为abN*所以(1)5ab因此a23b2(ab)(ab)(1)5×(1)5(2)5=-32涉及二项式定理的试题要注意以下几个方面:(1)某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念必须严格加以区别.(2)在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项、有理项、整式项等等要注意求这些特殊项的方法.(3)根据所给式子的结构特征活用二项式定理是解决二项式问题应具备的基本素质.(4)关于x的二项式(abx)n (ab为常数)的展开式可以看成是关于x的函数且当x给予某一个值时可以得到一个与系数有关的等式所以当展开式涉及与系数有关的问题时可以利用函数思想来解决.[对点训练]2已知f(x)(2)n其中nN*(1)若展开式中x3的系数为14n的值;(2)x3求证:f(x)必可表示成(sN*)的形式.[] (1)因为Tr1C·2nr·x3r6x3项的系数为C·2n614解得n7(2)证明:由二项式定理可知(2)nC2nC2n1·C2n2·()2C2nr()rC()n(C2nC2n2()2)(C2n1C2n3·3)xC2nC2n2()2yC2n1C2n3·3显然xN*yN*(2)nxy(2)nxy所以(2)n·(2)nx23y21sx2则必有s1x213y2从而f(x)必可表示成 的形式其中sN*1(1)7C4C的值;(2)mnN*nm求证:(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C[] (1)7C4C7×4×0(2)证明:nm结论显然成立.当n>m(k1)C(m1)·(m1)Ckm1m2nCCC所以(k1)C(m1)(CC)km1m2n因此(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C[(m2)C(m3)C(n1)C](m1)C(m1)[(CC)(CC)(CC)](m1)C2(2019·南京、盐城模拟)已知mnN*定义fn(m)(1)amf6(m)a1a2a12的值;(2)bm(1)mmfn(m)b1b2b2n所有可能值的集合.[] (1)由题意知fn(m)所以am所以a1a2a12CCC63(2)n1bm(1)mmf1(m)b1b2=-1n2bmmCm·n·nC所以b1b2b2nn[CCCC(1)nC]0所以b1b2b2n的取值构成的集合为{10}3(2019·苏州市高三调研)如图由若干个小正方形组成的k层三角形图阵第一层有1个小正方形第二层有2个小正方形依此类推k层有k个小正方形.除去最底下的一层每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上.现对第k层的每个小正方形用数字进行标注从左到右依次记为x1x2xk其中xi{01}(1ik)其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和,依此规律,记第一层的小正方形标注的数字为x0(1)k4若要求x02的倍数则有多少种不同的标注方法?(2)k11若要求x03的倍数则有多少种不同的标注方法?[] (1)k44层标注数字依次为x1x2x3x43层标注数字依次为x1x2x2x3x3x42层标注数字依次为x12x2x3x22x3x4所以x0x13x23x3x4因为x02的倍数所以x1x2x3x42的倍数x1x2x3x4四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1所以共有1C18种标注方法.(2)k1111层标注数字依次为x1x2x1110层标注数字依次为x1x2x2x3x10x119层标注数字依次为x12x2x3x22x3x4x92x10x11以此类推可得x0x1Cx2Cx3Cx10x11因为CC45CC120CC210C252均为3的倍数所以只要x1Cx2Cx10x113的倍数即只要x1x2x10x113的倍数.所以x1x2x10x11四个都取0或三个取1一个取0而其余七个数字x3x4x9可以取01这样共有(1C)×27640种标注方法.4(2019·南京、盐城高三模拟)(1x)na0a1xa2x2anxnnN*n2(1)n11|a6||a7||a8||a9||a10||a11|的值;(2)bkak1(kNkn1)Smb0b1b2bm(mNmn1)的值.[] (1)因为ak(1)kCn11|a6||a7||a8||a9||a10||a11|CCCCCC(CCCC)2101 024(2)bkak1(1)k1C(1)k1C1kn1bk(1)k1C(1)k1(CC)(1)k1C(1)k1C(1)k1C(1)kCm011mn1Sm=-1(1)k1C(1)kC]=-11(1)mC=-(1)mC所以1综上1 

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