2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第7讲　矩阵与变换

第7讲　矩阵与变换 [2019考向导航]考点扫描三年考情考向预测2019201820171．矩阵变换  B题江苏高考对本讲的命题方向：常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二阶矩阵的逆矩阵及其求法；矩阵的特征值与特征向量的求法．试题基础，处于“送分题”位置．2．逆矩阵与矩阵运算 B题 3．矩阵的特征值与特征向量A题  1．矩阵的乘法与逆矩阵(1) ＝．(2)若二阶矩阵A，B满足AB＝BA＝E(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为B＝A－1．2．矩阵对应的变换矩阵M＝对应的变换T：(x，y)→(x′，y′)满足→＝ ＝．3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设λ是二阶矩阵M＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则有M＝λ．(2)f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc为矩阵M＝的特征多项式．(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解，它即为M的属于λ的一个特征向量．矩阵变换[典型例题] (2019·姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy＝1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，且F的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，求θ和a的值．【解】　设P(x0，y0)是曲线C上任意一点，P(x0，y0)在矩阵对应的变换下变为：P′(x′0，y′0)；则有＝，所以，代入到x2－y2＝a2中，有：(x0cos θ＋y0sin θ)2－(－x0sin θ＋y0cos θ)2＝a2，且x0y0＝1，化简得：(x－y)(cos2θ－sin2θ)＋4x0y0sin θcos θ＝a2即(x－y)(cos2θ－sin2θ)＋4sin θcos θ＝a2；所以cos2θ－sin2θ＝0且a2＝4sin θcos θ，而θ∈，a＞0；所以θ＝，a＝．解决这类问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值．[对点训练]1．变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．(1)求点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标；(2)求函数y＝x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．[解] (1)M1＝，M1＝ ＝，所以点P(2，1)在T1作用下的P′点的坐标是P′(－1，2)．(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M＝，也就是，即，所以所求曲线的方程是y－x＝y2．逆矩阵与矩阵运算[典型例题] (2018·高考江苏卷)已知矩阵A＝．(1)求A的逆矩阵A－1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标．【解】　(1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，所以A可逆，从而A－1＝．(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，因此，点P的坐标为(3，－1)．正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序，记住求逆矩阵的过程是解题的关键． [对点训练]2．已知矩阵A＝，B＝．(1) 求AB；(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程．[解] (1)因为A＝，B＝，所以AB＝ ＝．(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则 ＝，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，从而＋＝1，即x2＋y2＝8．因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8．矩阵的特征值与特征向量[典型例题] (2019·高考江苏卷)已知矩阵 A＝．(1)求A2；(2)求矩阵A的特征值．【解】　(1)因为A＝．所以A2＝ ＝＝．(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋4．令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝4．在求矩阵变换的特征值与特征向量时，要利用定义建立关系．[对点训练]3．(2019·镇江市高三调研)求矩阵的特征值及对应的特征向量．[解] 由题意得矩阵的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)2－1＝λ2－6λ＋8，由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4．设α1＝为λ1＝2对应的特征向量，则，即x1＋y1＝0，故可取为属于特征值λ1＝2的一个特征向量．同理，设α2＝为λ2＝4对应的特征向量，则，即x2－y2＝0，故可取为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝2，λ2＝4，属于λ1＝2的一个特征向量为，属于λ2＝4的一个特征向量为．1．(2019·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A有特征值λ＝6，其对应的一个特征向量为e＝，并且矩阵A对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A．[解] 设所求二阶矩阵A＝，则，所以，所以，解方程组得A＝．2．(2019·南京、盐城模拟)已知矩阵A＝，A的逆矩阵A－1＝．(1)求a，b的值； (2)求A的特征值． [解] (1)因为AA－1＝＝＝．所以 解得a＝1，b＝－．(2)由(1)得A＝，则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)( λ－1)．令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3．3．(2019·南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点A(－1，2)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[解] 设B′(x，y)，依题意，由 ＝，得A′(1，2)．则＝(2，2)，＝(x－1，y－2)．记旋转矩阵N＝，则 ＝，即＝，得所以点B′的坐标为(－1，4)．4．(2019·江苏四星级学校联考)设矩阵A＝，已知矩阵A的特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝，求ad－bc的值．[解] 由特征值、特征向量的定义可知Aα1＝λ1α1，即 ＝－1×＝，可得，①同理可得 ＝4×＝，即，②由①②解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1，因此ad－bc＝2－6＝－4．