课时作业(二十二) 简单的三角恒等变换 练习

课时作业(二十二)　简单的三角恒等变换一、选择题1．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝(　　)A.　　　　B．－C.        D．－解析：∵<θ<3π，∴<<.∴sin ＝－＝－＝－.答案：D2．若α∈，且3cos2α＝4sin，则sin2α的值为(　　)A.          B．－C．－      D.解析：由已知得3(cos2α－sin2α)＝2(cosα－sinα)，∵α∈，∴cosα－sinα≠0，∴3(cosα＋sinα)＝2，∴cosα＋sinα＝，1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.答案：B3．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)A.          B.或－C．－或  D．－解析：由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.答案：D4．(2017·广东适应性考试)三角函数f(x)＝sin＋cos 2x的振幅和最小正周期分别是(　　)A.，    B.，πC.，  D.，π解析：f(x)＝sincos 2x－cossin 2x＋cos 2x＝·cos 2x－sin 2x＝＝cos，所以振幅为，最小正周期T＝＝π，故选B.答案：B5．(2017·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝(　　)A.  B.C.  D.解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝，又由α为锐角，可得cos α＝，∴sin＝sin α＋cos α＝.答案：A6．(2017·济南二模)已知sin－cosα＝，则cos＝(　　)A．－   B.C．－    D.解析：由sin－cosα＝，得sinα＋cosα－cosα＝sin＝，得cos＝1－2sin2＝1－＝.答案：D二、填空题7．(2017·福建宁德一模)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝，∴cos 2α＝－(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝－×＝－.答案：－8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.答案：9．(2017·河北衡水中学二调)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2cos cos2α的值为________．解析：∵tan α＋＝，∴(tan α－3)(3tan α－1)＝0，∴tan α＝3或.∵α∈，∴tan α>1，∴tan α＝3，sin＋2cos cos2α＝sin 2α＋cos 2α＋＝(sin 2α＋2cos 2α＋1)＝＝＝0.答案：0三、解答题10．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解析：由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝＝＝1.∵α∈，β∈，∴<α＋β<，∴α＋β＝.11．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos的值．解析：(1)因为f＝Acos＝Acos ＝A＝，所以A＝2.(2)由f(4α＋)＝2cos＝2cos＝－2sin α＝－，得sin α＝，又α∈，所以cos α＝.由f＝2cos＝2cos β＝，得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.12．(2017·安徽合肥二检)已知m＝，n＝(cos x,1)．(1)若m∥n，求tan x的值；(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．解析：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展开变形可得，sin x＝cos x，即tan x＝.(2)f(x)＝m·n＝sin＋，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.