高考数学一轮复习课时质量作业(二十二)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(二十二)含答案，共6页。试卷主要包含了若cs ＝－12，则等内容，欢迎下载使用。
1．(多选题)若cs (π－α)＝－12，则( )
A．sin (－α)＝32B．sin π2+α＝－32
C．cs (π＋α)＝－12D．cs (α－π)＝－12
CD 解析：由cs (π－α)＝－12，得cs α＝12，则sin α＝±32.
A．sin (－α)＝－sin α＝±32，所以不正确．
B．sin π2+α＝cs α＝12，所以不正确．
C．cs (π＋α)＝－cs α＝－12，所以正确．
D．cs (α－π)＝cs (π－α)＝－12，所以正确．
故选CD．
2．(2024·冀州模拟)若sin 5π2+α＝15，则cs (π＋α)＝( )
A．－25B．－15
C．15D．25
B 解析：因为sin 5π2+α＝sin 2π+π2+α＝sin π2+α＝cs α＝15，所以cs (π＋α)＝－cs α＝－15.
3．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sin A+B－C2＝sin A－B+C2，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
C 解析：因为sin A+B－C2＝sin A－B+C2，A＋B＋C＝π，
所以sin π－2C2＝sin π－2B2，可得cs C＝cs B.
又因为B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形．
4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝15，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝45B．cs θ＝－35
C．tan θ＝－34D．sin θ－cs θ＝75
ABD 解析：由题意知sin θ＋cs θ＝15，
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝125，所以2sin θcs θ＝－2425＜0.
又因为θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，所以sin θ－cs θ＞0，
所以sin θ－cs θ＝1－2sin θcsθ＝1－－2425＝4925＝75，所以sin θ＝45，cs θ＝－35.
所以tan θ＝－43.故A，B，D正确．
5．已知sin 3π2－α＋cs (π－α)＝sin α，则2sin2α－sinαcs α等于( )
A．2110B．32
C．32D．2
D 解析：由诱导公式可得sin α＝sin 3π2－α＋cs (π－α)＝－2cs α，所以tan α＝－2，所以2sin2α－sinαcs α＝2sin2α－sinαcsαsin2α+cs2α＝2tan2α－tanαtan2α+1＝105＝2.
6．已知sinπ2+α＝－45，那么tan α·sin α＝________.
920 解析：因为sin π2+α＝－45，所以cs α＝－45，sin2α＝1－cs2α＝1－1625＝925，所以tanα·sin α＝sin2αcsα＝925－45＝－920.
7．已知sin －π2－αcs －7π2+α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝______，cs α＝______.
35 45 解析：sin －π2－αcs －7π2+α＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝1225.
因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cs α.又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝35，cs α＝45.
8．(2024·长沙模拟)已知sin π4－α＝35，且π4－α为第二象限角，则sin α－13π4＋sin α+21π4＝________.
75 解析：因为sin π4－α＝35，且π4－α为第二象限角，所以cs π4－α＝－45，
所以sin α－13π4＋sin α+21π4＝sin α+3π4＋sin α－3π4
＝sin π4－α－cs π4－α＝35－－45＝75.
9．已知α为第三象限角，f (α)＝sinα－π2·cs3π2+α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π.
(1)化简f (α)；
(2)若cs α－3π2＝15，求f (α)的值．
解：(1)f (α)＝sinα－π2·cs3π2+α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π＝－csα·sin α·－tanα－tanα·sin α＝－cs α.
(2)因为cs α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.
又α为第三象限角，所以cs α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－csα＝265.
10．(2024·郑州模拟)已知角α∈－π2，0，且tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于( )
A．154B．14
C．－34D．－154
A 解析：因为tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，所以(tanα－4sin α)(tan α＋sin α)＝0.
因为α∈－π2，0，所以tan α0.
又因为tan θ＝sinθcsθ＝12，则cs θ＝2sin θ，
所以cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sin θ＝－55(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.
14．是否存在α∈－π2，π2，β∈(0，π)使等式sin (3π－α)＝2cs π2－β，3cs (－α)＝－2cs (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得sin α=2sin β①，3csα=2csβ②，
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，
所以sin2α＝12，所以sinα＝±22.
因为α∈－π2，π2，所以α＝±π4.
当α＝π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．
15．已知f (x)＝cs2nπ+x·sin2nπ－xcs22n+1π－x(n∈Z)．
(1)化简f (x)的表达式；
(2)求f π2018＋f 504π1 009的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f (x)＝cs22kπ+x·sin22kπ－xcs22×2k+1π－x＝cs2x·sin2－xcs2π－x＝cs2x·－sinx2－csx2＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f (x)＝cs22k+1π+x·sin22k+1π－xcs22×2k+1+1π－x＝cs22kπ+π+x·sin22kπ+π－xcs22×2k+1π+π－x
＝cs2π+x·sin2π－xcs2π－x＝－csx2sin2x－csx2＝sin2x.
综上可得f (x)＝sin2x.
(2)由(1)得f π2018＋f 504π1 009＝sin2π2018＋sin21008π2 018
＝sin2π2018＋sin2π2－π2018＝sin2π2018＋cs2π2018＝1.