高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课堂教学课件ppt

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1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
NEIRONGSUOYIN
知识点一　指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
思考　为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案　①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点二　两类指数模型
1.y＝kax(k>0)，当 时为指数增长型函数模型.2.y＝kax(k>0)，当 时为指数衰减型函数模型.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.y＝xx(x>0)是指数函数.(　　)2.y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.(　　)3.y＝ 是指数衰减型函数模型.(　　)4.若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.(　　)
例1　(1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号)
②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.
解析　由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，
判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求；(2)ax前的系数是否为1；(3)指数是否符合要求.
跟踪训练1　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则A.a＝1或－1 B.a＝1C.a＝－1 D.a>0且a≠1
解析　因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，
(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是__________________.
二、求指数函数的解析式、函数值
解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
∴函数f(x)为指数衰减型，
又f(0)＝3，∴k＝3，
解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解.
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3　甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
解　1年后甲城市人口总数为y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)3；…；x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；
解　10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.
(3)对两城市人口增长情况作出分析.参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.
解　甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
跟踪训练3　中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标.全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高.设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：①(1＋p%)×10＝2；②(1＋p%)10＝2；③10(1＋p%)＝2；④1＋10×p%＝2.其中正确的是A.① B.② C.③ D.④
解析　已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；正确的关系式为②.
1.下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.所以只有③是指数函数.故选B.
解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.
3.如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为
A.一次函数模型 B.二次函数模型C.指数函数模型 D.幂函数模型
解析　观察数据可得y＝4x.
4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是A.y＝2x B.y＝2x－1C.y＝2x D.y＝2x＋1
解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个).
5.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：(1)指数函数的定义.(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：易忽视底数a的限制条件：a>0且a≠1.