初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀同步练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀同步练习题，共11页。
1．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．


（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；


（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？


（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．











2．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果．经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱．设每箱的销售价为x元（x＞50），平均每天的销售量为y箱，该批发商平均每天的销售利润w元．


（1）y与x之间的函数解析式为 ；


（2）求w与x之间的函数解析式；


（3）当x为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？























3．某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．


（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；


（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；


（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？














4．生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律：每年年产量为x（吨）时所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y＝x2+5x+90，投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价P甲P乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额﹣全部费用）


（1）当在甲地生产并销售x吨时，满足P甲＝﹣x+14，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；


（2）当在乙地生产并销售x吨时，P乙＝﹣x+15，求在乙地当年的最大年利润应为多少万元？























5．绿色植物销售公司打算销售某品种的“赏叶植物”，在针对这种“赏叶植物”进行市场调查后，绘制了以下两张函数图象．其中图象①为一条直线，图象②为一条抛物线，且抛物线顶点为（6，1），请根据图象解答下列问题：





（1）如果公司在3月份销售这种“赏叶植物”，单株获利多少元；


（2）请直接写出图象①中直线的解析式；


（3）请你求出公司在哪个月销售这种“赏叶植物”，单株获利最大？（备注：单株获利＝单株售价﹣单株成本）








6．某水果商将一种高档水果放在商场销售，该种水果成本价为10元/kg，售价为40元/kg，每天可销售20kg．调查发现，销售单价每下降1元，每天的销售量将增加5kg．


（1）直接写出每天的销售量y（kg）与降价x（元）之间的函数关系式；


（2）降价多少元时，每天的销售额w元最大，最大是多少元？（销售额＝售价×数量）


（3）每销售1kg水果，需向商场缴纳柜台费a元（a＞0），水果商计划租赁柜台20天，为了促销，决定开展“每天降价1元”活动，即从第1天开始，每天的销售单价比前一天下降1元（第1天的销售单价为39元），经测算发现，销售的前11天，每天的利润Q元随销售天数t（t为正整数）的增大而增大，试确定a的取值范围．（利润＝销售额﹣成本﹣柜台费）














7．长丰县是国家无公害草莓生产示范基地，生产的草莓是安徽省特色水果，也是安黴省的特产之一．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为20元/kg的草莓，规定试销期间销售单价低于成本单价，也不高于40元/kg，经试销发现，销售量（kg）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．


（1）求y与x的函数表达式；


（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．














8．如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？


你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．


（1）请用含x的代数式表示BC．


（2）设矩形ABCD的面积为S．


①求出S关于x的函数表达式．


②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？














9．利川市南门大桥是上世纪90年代修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛物线的一部分，2019年在维修时，施工队测得主桥孔最高点P到水平线OM的高度为30m．宽度OM为60m．如图所示，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系．


（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；


（2）求出这条抛物线的函数解析式；


（3）施工队计划在主桥孔内搭建矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在水平线OM上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根钢管AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算．

















10．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间y1（单位：min）是关于x的一次函数，其关系如下表：


（1）求y1关于x的函数解析式；


（2）李华骑单车的时间y2（单位：min）也受x的影响，其关系可以用y2＝x2﹣11x+78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．











参考答案


1．解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，


∴x≤10，


∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，


当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，


综上所述：w＝；


（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，


∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，


∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元，


当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，


∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，


∴当x＝28时，w有最大值为46400元，


∵46400＞18000，


∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；


（3）∵40000＞18000，


∴10＜x≤30，


∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，


当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，


∴x1＝20，x2＝36，


∴当20≤x≤36时，w≥40000，


又∵10＜x≤30，


∴20≤x≤30，


此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，


∴对称轴为直线x＝＝28+a，


∵a＜4，


∴28+a＜30，


∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元


∴（28+a﹣6﹣a）[﹣100×（28+a）+500]﹣2000＝42100，


∴a1＝2，a2＝86，


∵a＜4，


∴a＝2．


2．（1）解：（1）由题意得售价为x元/箱时，


每天的销售量y＝90﹣3（x﹣50）＝﹣3x+240；


故答案为：y＝﹣3x+240；


（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）


＝﹣3x2+360x﹣9600；


（3）w＝﹣3x2+360x﹣9600


＝﹣3（x﹣60）2+1200，


∵﹣3＜0，


∴当x＝60时，w最大值＝1200，


∴当x为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1200元．


3．【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，


得a＝﹣，c＝6．


∴y＝﹣x2+6．


（2）当x＝5时，y＝﹣×52+6＝，


∴EF＝10﹣＝，CD＝10﹣6＝4，


支柱的总造价为2（2×+2×10+4）＝70（万元）．


（3）∵坦克的高为3米，令y＝3时，﹣x2+6＝3，


解得：x＝±5，


∵7＜5＜8，坦克宽为2米，


∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），


坦克的行驶速度为24km/h＝400米/分，


∴通过隧道的最短时间为＝2.9（分）．


4．解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x＝（﹣x2+14x）万元；


w甲＝（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）＝﹣x2+9x﹣90．


当x＝20时，w甲＝﹣×202+9×20﹣90＝30，


所以在甲地生成并销售20吨时利润为30万元；





（2）在乙地区生产并销售时，


年利润：


w乙＝﹣x2+15x﹣（x2+5x+90）


＝﹣x2+10x﹣90＝﹣（x﹣25）2+35．


∴当x＝25时，w乙有最大值35万元，


∴在乙地当年的最大年利润应为35万元．


5．解：（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为5﹣4＝1（元），


故答案为：1；


（2）设直线的表达式为：y1＝kx+b（k≠0），


把点（3，5）、（6，3）代入上式得：


，解得：，


∴直线的表达式为：y1＝﹣x+7；





（3）设：抛物线的表达式为：y2＝a（x﹣m）2+n，


∵顶点为（6，1），则函数表达式为：y2＝a（x﹣6）2+1，


把点（3，4）代入上式得：


4＝a（3﹣6）2+1，解得：a＝，


则抛物线的表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，


故答案为：y1＝﹣x+7；y2＝（x﹣6）2+1，


（3）y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x﹣6）2﹣1＝﹣（x﹣5）2+，


∵a＝﹣＜0，


∴x＝5时，函数取得最大值，


故：5月销售这种植物，单株获利最大．


6．解：（1）由题意得：y＝20+5x；


（2）w＝（40﹣x）（20+5x）＝5x2+180x+800＝﹣5（x﹣18）2+2420∵﹣5＜0


∴当x＝18时，w取最大值2420：


降价18元时，每天的销售额w元最大，为2420元；


（3）Q＝（40﹣t﹣10﹣a）（20+5t）＝﹣5t2+（130﹣5a）t+600﹣20a，


由趨意得，前11天每天的利润Q元随销售天数t（t为正整数）的增大而增大


﹣＞10.5，解得，a＜5


∴a的取值范围是0＜a＜5．


7．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，


根据题意，得：，


解得：，


∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+340（20≤x≤40）．





（2）由已知得：W＝（x﹣20）（﹣2x+340）


＝﹣2x2+380x﹣6800


＝﹣2（x﹣95）2+11250，


∵﹣2＜0，


∴当x≤95时，W随x的增大而增大，


∵20≤x≤40，


∴当x＝40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250＝5200元．


8．解：（1）由题意可得：π•BC＝，


∴BC＝；


（2）①∵四边形ABCD是矩形，


∴S＝×x＝﹣（x﹣100）2+；


②当x＝100时，S最大，


∴当AB＝100米时，S最大．


9．解：（1）解：（1）由题意可得：M（60，0），P（30，30）；





（2）抛物线过原点O，故设抛物线为y＝ax2+bx，


由M（60，0），P（30，30）在抛物线上有，


解得，


所以抛物线的函数解析式为（0≤x≤60）；





（3）设A（x，y），则，AD＝60﹣2x


设“脚手架”三根钢管AB、AD、DC的长度之和为L


，则，


即


当x＝15时，L最大值＝75，


所以，三根钢管AB、AD、DC的长度之和的最大值是75m．


10．解：（1）设y1关于x的函数解析式为y1＝kx+b．将（7，16），（9，20）代入，


得，


解得


∴y1关于x的函数解析式为y1＝2x+2；





（2）设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min，


则y＝y1+y2＝2x+2+x2﹣11x+78＝x2﹣9x+80＝（x﹣9）2+39.5，


∴当x＝9时，y取得最小值，最小值为39.5，


∴李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min．


地铁站
A
B
C
D
E
x/km
7
9
11
12
13
y1/min
16
20
24
26
28