2020届二轮复习三角函数的图像和性质教案(全国通用)
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【例1】已知函数为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求的单调递减区间.
(Ⅱ)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.
所以.
【点评】(1)一般利用复合函数的单调性原理求复合函数的单调区间,首先是对复合函数进行分解,接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性,最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.(2)如果知识比较熟练,也可以不必写得这么复杂,直接写出不等式()也可以. *
【反馈检测1】已知函数.
(1)求的周期和单调递增区间;
(2)说明的图象可由的图象经过怎样变化得到.
运用二 | 求函数的奇偶性 |
解题步骤 | 一般根据函数的奇偶性的定义解答,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数. |
【例2】已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;(Ⅱ)令,判断函数的奇偶性,并说明理由.
【点评】三角函数的恒等变换在解决三角函数的问题时尤为重要,如果化简出现问题,后面的解答就会出错.
【反馈检测2】设函数的最小正周期为,且为偶函数,求函数的解析式.
运用三 | 求函数的周期 |
解题步骤 | 一般先利用三角恒等变形把函数化成的形式,再利用周期公式求函数的周期. |
【例3 】 已知函数.
(I)求函数的最小正周期;(II)当且时,求的值.
【解析】由题设有.
(I)函数的最小正周期是
(II)由得即
【点评】(1)要使用周期公式,必须先通过三角恒等变形将函数的解析式化为或的形式,再代周期公式.(2)正弦余弦函数的最小正周期是,正切函数的最小正周期公式是,注意一定要注意加绝对值.(3)函数的最小正周期是,不是.三角函数的周期公式中代表的是的系数,不是什么地方都是.函数中的系数是.
【反馈检测3】已知函数()的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
运用四 | 求函数的对称性(对称轴和对称中心) |
解题步骤 | 一般类比三角函数求复合函数的对称轴、对称中心等. |
【例4】已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;(Ⅱ)求函数在区间上的值域.
【解析】(1)
由
函数图象的对称轴方程为
【点评】(1)求函数的对称轴一般就是解方程,求函数的对称轴一般就是解方程.*
【反馈检测4】函数图象的对称中心是 .
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第23讲:三角函数的图像和性质(周期性、单调性、奇偶性和对称性)的运用参考答案
【反馈检测1答案】(1) 单调递增区间为;(2)将的图象纵坐标不变, 横坐标综短为原来倍, 将所得图象向左平稳个单位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标为原来的倍得的图象.
【反馈检测2答案】
【反馈检测2详细解析】
【反馈检测3答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【反馈检测3详细解析】(Ⅰ)
.
因为函数的最小正周期为,且, 所以,解得.
【反馈检测4答案】
【反馈检测4详细解析】因,
所以函数的对称中心为 .