2020届二轮复习三角函数的图像与性质教案（全国通用）

2020届二轮复习 三角函数的图像与性质 教案（全国通用）
1．任意角和弧度制
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
(3)弧长公式：l＝|α|r，
扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3．诱导公式

公式一
sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，
tan(2kπ＋α)＝tanα
公式二
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα
公式三
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα
公式四
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα
公式五
sin＝cosα，cos＝sinα
公式六
sin＝cosα，cos＝－sinα
口诀
奇变偶不变，符号看象限

4.同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝(cosα≠0)．
5．正弦、余弦、正切函数的性质

函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．
在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)．
对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(，0)(k∈Z)
6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．




高频考点一　三角函数图象及其变换
例1、（2018年天津卷）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：.
本题选择A选项.
【变式探究】【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D

【变式探究】函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．y＝2sin　　　　B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．
由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.
答案：A
【变式探究】 (1)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：基本法：由函数图象知T＝2×＝2.
∴＝2，即ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨设φ＝.
∴f(x)＝cos
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π得，
2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故选D.
速解法：由题图可知＝－＝1，所以T＝2.
结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选D.
答案：D
(2)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位　　　B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

高频考点二　三角函数性质及应用
例2、（2018年全国Ⅱ卷理数）已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
因此
【变式探究】【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故△ABC的周长为.
【变式探究】(1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)


解析：基本法：用排除法排除错误选项．
当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.
当x∈时，f＝f＝1＋，
f＝2.∵2＜1＋，∴f＜f＝f，从而排除D，故选B.
速解法：当x＝时，f＝1＋.
3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．
4.【2016年高考四川理数】= .
【答案】
【解析】[由二倍角公式得
5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
6.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B

7.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B. ，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
8.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】

9.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
10.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）
（A） （B）π （C） （D）2π
【答案】B
【解析】,故最小正周期,故选B.
11.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.
12.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.
13.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）
A.，的最小值为B. ，的最小值为
C.，的最小值为D.，的最小值为
【答案】A
【解析】由题意得，，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.
14.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
【解析】因为，＝，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．
15.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
16.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，
且，故选D.
17.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
由，得或，所以，故选A．
【2015高考新课标1，理2】=( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】原式= ==，故选D.
【2015江苏高考，8】已知，，则的值为_______.
【答案】3
【解析】
【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.
(Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解．
（1)求实数m的取值范围；
（2)证明：
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）详见解析．
【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为
(2)1)
（其中）
依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故m的取值范围是.
2)因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
解法二：(1)同解法一.
(2)1) 同解法一.
2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，
所以，.
当时，
当时,
所以
于是

【2015高考山东，理16】设.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】（I）单调递增区间是；
单调递减区间是
（II） 面积的最大值为
【解析】
（I）由题意知

由可得
由可得
所以函数 的单调递增区间是；　
单调递减区间是
（Ⅱ）由得
由题意知为锐角，所以
由余弦定理：
可得：
即： 当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
【2015高考重庆，理9】若，则（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【解析】
由已知，
＝，选C.
【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B.
【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)

【答案】D
【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
【答案】A

【考点定位】三角函数图像、辅助角公式
2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .
【答案】
【解析】由题意，即，，，因为，所以．
【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角．
3. 【2014辽宁高考理第9题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，令，即的增区间为，令k=0，则可知B正确.
【考点定位】函数的性质.
4. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.选A.
【考点定位】三角函数图象的变换.
5. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（ ）


【答案】C
【解析】如图所示，当时，在中，．在中，
；当时，在中，，在中，，所以当时，的图象大致为C．

【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．
6. 【2014高考北卷理第14题】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .
【答案】
【解析】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，
由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，
所以，，即，所以，解得.
【考点定位】函数的对称性、周期性，
7. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是________.
【答案】

【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.
8. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
【答案】Ｄ
【解析】，故只需将向左平移个单位．
【考点定位】三角函数化简,图像平移.
9. 【2014陕西高考理第2题】函数的最小正周期是（ ）

【答案】
【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选.
【考点定位】三角函数的最小正周期.
10. 【2014大纲高考理第16题】若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .
【答案】．
【解析】时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．
【考点定位】三角函数的单调性
11. 【2014高考江西理第16题】已知函数，其中
（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）
【解析】（1）当时，

因为，从而
故在上的最大值为最小值为-1.
（2）由得，又知解得
【考点定位】三角函数性质
12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．
(1)求f的值；
(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．
【解析】思路一　直接将代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．
(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简sin＋1.
得到T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
思路二　先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin＋1.
(1)将代入函数式计算；
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
解析：解法一　(1)f＝2cos
＝－2cos
＝2.
(2)因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
所以T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
解法二　因为f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
(1)f＝sin＋1＝sin ＋1＝2.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．


1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到y＝sin ωx的图象，只需把y＝f(x)的图象上所有点(　　)

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：基本法：利用图象上的信息求周期到求ω，利用特殊点求φ，确定f(x)解析式再平移．
由图象知：＝－，∴T＝π.又π＝，∴ω＝2.
由f＝0得：2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．∵|φ|＜，∴φ＝，即f(x)＝sin＝
sin，故选A.
速解法：利用周期和零点求出在原点右侧的零点，观察平移．
＝2＝
∴f(x)在原点左侧的第一个零点为
x＝－＝－，故向右平移，图象过原点．
答案：A
2．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2，故选B.
答案：B
3．若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为(　　)
A．－　　　　　 B.
C. D．(0，0)
解析：f(x)＝2sin，∵T＝＝2，∴a＝π.
∴f(x)＝2sin，∴当x＝时，f(x)＝0.
答案：B
4．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)
A．x＝－ B． x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：由题意知y＝sin＝sin＝－cos 2x，验证可知x＝－是所得图象的一条对称轴．
答案：A
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则函数y＝f(x)＋ω的图象的对称中心坐标为(　　)

A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：由题图可知＝－＝π，∴T＝3π，又T＝＝3π，∴ω＝，又×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，由x＋＝kπ，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，则y＝f(x)＋ω的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．
答案：D
6．已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解：(1)∵f(x)＝sin x－(1－cos x)＝
sin－，
∴f(x)的最小正周期为2π.
(2)∵－π≤x≤0，
∴－≤x＋≤.
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
7．某同学用“五点法”画函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，
令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
8．设函数f(x)＝sin ωx＋sin，x∈R.
(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应x的集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．
解：由已知：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin.
(1)若ω＝，则f(x)＝sin.
又x∈R，则sin≤，
∴f(x)max＝，
此时x－＝2kπ＋，k∈Z，
即f(x)取最大值时，
x的取值集合为.
(2)∵x＝是函数f(x)的一个零点，
∴sin＝0，∴ω－＝kπ，k∈Z.
又0<ω<10，所以ω＝2，
∴f(x)＝sin，
此时其最小正周期为π.