2020届二轮复习 三角函数的图象和性质 教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角函数的图象和性质_  教案（全国通用）

类型一、定义域

例1．求函数的定义域.

【思路点拨】根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可，同时对数要有意义，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.

【解析】为使函数有意义，需满足，解得，由单位圆，如图所示：

故函数的定义域为.

【总结升华】求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成.

举一反三：

【变式】求函数的定义域.

【解析】为使函数有意义，需满足，即，

解得，由单位圆，如图所示：

函数的定义域为.

例2．求函数的定义域.

【思路点拨】只需，同时对数要有意义，即底且，真数.

【解析】由题有　 

将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取公共部分，由于x[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，

即：

∴因此函数的定义域为：

【总结升华】①sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R，不是角度.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化.

②求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.

举一反三：

【变式1】求函数的定义域：

（1）； （2）.

【解析】（1）要使得函数有意义，需满足，

解得或，

∴定义域为：.

（2）要使得函数有意义，需满足 

解得

∴定义域为：.

【变式2】已知的定义域为，求的定义域.

【解析】∵中，∴中，

解得，

∴的定义域为：.

类型二、值域

例3.求下列函数的值域：

（1）     （2） 

【思路点拨】（1）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大值与最小值，注意自变量的取值范围.

【解析】（1）根据可知，

故函数的值域为.

（2），

由知，由正弦函数的单调性可知，

故函数的值域为.

【总结升华】①形如或，可根据的有界性来求最值；②形如或可看成关于的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中；③形如可化为（其中）的形式来确定最值.

举一反三：

【变式】已知且，求函数的值域.

【解析】,且，且，

由正切函数的单调性可知或，

故函数的值域为.

类型三、奇偶性

例4.判断下列函数的奇偶性：

（1）    （2）

【思路点拨】（1）先观察定义域为R，再判断f(x)与f（-x）的关系，可得答案；（2）先观察定义域，注意到定义域区间不关于原点对称，易得出答案.

【解析】（1）函数的定义域为R，

是偶函数.

（2）由题意有，故，所以函数的定义域为，

显然函数的定义域区间不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.

【总结升华】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。判断函数奇偶性常见步骤：①判定定义域是否关于原点对称；②判定f(x)与f（-x）的关系.

举一反三：

【变式】判断函数的奇偶性.

【解析】，

故是奇函数.

类型四、周期性

例5.  求下列函数的周期：

（1）；（2）

【思路点拨】运用公式化简转化为熟悉的三角函数的周期.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），  ∴周期为；

（2）函数的周期， ∴周期为.

【总结升华】① 求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，比如或的形式，否则很容易出现错误.

②函数或的周期，函数的周期.

举一反三：

【变式】求函数的最小正周期．

（1）；  （2）；  （3）

【解析】（1），∴周期为；

（2） ，∴周期为；

（3），∴周期为.

类型五、单调区间

例6．求函数的单调区间.

【思路点拨】借助正弦函数图象及含有绝对值的函数图象的画法，来帮助分析.

【解析】令，则，

函数的周期为，且图象如图所示：

显然，当时，单调递减；

当时，单调递增；

∴当时，单调递减；

当时，单调递增；

故的单调递减区间为；单调递增区间为.

【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的.

举一反三：

【变式】求函数的单调区间：

【解析】令，则， 且

显然函数在始终是单调递减的，

所以时，单调递增，单调递减；

时，单调递减，单调递增；

故单调递减区间为；单调递增区间为.

类型六、综合

【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例4】

例7. 已知函数 ，

（1）求的定义域及最小正周期；

（2）求的单调递增区间.

【思路点拨】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．

【解析】（1）由题知，即，

所以的定义域为，

.

（2）由，即，单调递增，

故的单调递增区间区间为.

【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为或的形式进行. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式来求解；注意三角函数的单调性的求解.

举一反三：

【变式1】 函数()的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为．

(1)求函数的解析式；

(2)设，则，求的值．

【解析】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2．

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，

∴最小正周期T＝π．

∴ω＝2．故函数的解析式为

(2)∵，即

∵∴

∴，  故

【变式2】已知函数

（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求函数在区间上的值域.

【解析】（1）

 ∴的最小正周期

由，得

函数图象的对称轴方程为：

（2）

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，取最大值1，

又，

当时，取最小值,

所以函数在区间上的值域为.