2020届二轮复习三角函数的图象和性质教案（全国通用）

2020届二轮复习  三角函数的图象和性质   教案（全国通用）

类型一、定义域及值域

例1. 求下列函数的值域：

（1）   （2）

（3）                  （4） 

【思路点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围. （2）根据角的范围得出sinx的范围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；

【解析】（1）∵，

∴，

当，即时，；当，即时，，

∴.

  （2），

      令：，则

∵为增函数；

∴.

（3）根据可知，

故函数的值域为.

（4），

由知，由正弦函数的单调性可知，

故函数的值域为.

【总结升华】①形如或，可根据的有界性来求最值；②形如或可看成关于的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中；③形如可化为（其中）的形式来确定最值.

举一反三：

【变式1】已知且，求函数的值域.

【解析】,且，且，

由正切函数的单调性可知或，

故函数的值域为.

【变式2】已知的定义域为，求的定义域.

【解析】∵中，∴中，

解得，

∴的定义域为：.

【变式3】求函数的最大值及相应的的值．

【解析】若，当，时，函数有最大值；

    若，当，时，函数有最大值．

【变式4】函数的值域是                    ．

【解析】∵，∴，

显然，∴，由解得，

故值域是．

【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例3】

例2.已知函数.

   （Ⅰ）若，求的值；

   （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 

【思路点拨】（1）注意到所求角和已知角的关系，用二倍角公式来处理；（2）先求出的解析式，再运用求最值的方法解决.

【解析】（Ⅰ）∵，

∴

（II）

∵，∴

∴当即时，

当即时，

【总结升华】先通过倍角公式和两角的和、差公式进行化简，利用余弦函数的单调性可知函数的最值.

举一反三：

【变式1】已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数 的最大值和最小值.

【解析】（）

当时，，  ①

      当时，，  ②

由①②得，   ∴，

所以，当时，，当时，．

【变式2】 已知函数的定义域是，值域是，求常数．

【解析】

∵，∴，  ∴，

若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，

∴，解得：，

若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，

∴，解得：，   所以，或．

类型二、奇偶性、周期性、单调性

例3.判断函数在下列区间上的奇偶性：

（1）    （2）

【思路点拨】不能直接观察函数的定义域的，要考虑对函数解析式进行等价变形，化简.

【解析】（1）∵

∴，

∴此函数在内是奇函数.

（2）由于时，，而无意义，因此函数在上不具有奇偶性.

【总结升华】先确定函数的定义域，然后根据函数的定义判断函数的奇偶性. 奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视．

举一反三：

【变式1】下列函数中是偶函数的是(　　)

 A．y＝sin2x   B．y＝－sinx      C．y＝sin|x|   D．y＝sinx＋1

【答案】C

【解析】　A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

∴y＝sin|x|是偶函数．

【变式2】下列函数中是奇函数的为

【答案】D

【变式3】求下列函数的周期：

（1）；  （2）；  （3）

【解析】（1），  ∴周期为；

（2） ，∴周期为；

（3），∴周期为.

【变式4】函数的最小正周期是        

【答案】

例4．求函数的单调区间。

【思路点拨】运用换元法，注意定义域，转化为求熟悉的二次函数单调区间的问题.

【解析】令，则， 且

显然函数在始终是单调递减的，

所以时，单调递增，单调递减；

时，单调递减，单调递增；

故单调递减区间为；单调递增区间为.

【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的.

举一反三：

【变式】求函数的单调区间.

【解析】令，则，

函数的周期为，且图象如图所示：

显然，当时，单调递减；

当时，单调递增；

∴当时，单调递减；

当时，单调递增；

故的单调递减区间为；单调递增区间为.

类型三、综合

例5. 已知函数的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

【思路点拨】（1）结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点，在图像上分别求出，从而求出f（x）的解析式；（2）运用第一问结论和三角恒等变换化简g（x），得出单调递增区间.

【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期.

因为点在函数图像上，所以.

又即.

又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为

（Ⅱ）

由得

的单调递增区间是

【总结升华】考查由的部分图象确定解析式，关键在于确定及，考查正弦函数的单调性，同时考查我们的计算能力.

举一反三：

【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862例4】

【变式1】已知函数 ，

（1）求的定义域及最小正周期；

（2）求的单调递增区间.

【解析】（1）由题知，即，

所以的定义域为，

.

（2）由，即，单调递增，

故的单调递增区间区间为.

【变式2】设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝处取得最大值2，其图象

与x轴的相邻两个交点的距离为．

（1）求f(x)的解析式；

（2）求函数g(x)＝的值域．

【解析】（1）由题设条件知f(x)的周期T＝π，即，解得ω＝2．

因f(x)在处取得最大值2，所以A＝2，从而，

所以．又由－π＜φ≤π得．

故f(x)的解析式为f(x)．

（2）g(x)＝

因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠，故g(x)的值域为．