中考数学必考点提分专练05 反比例函数综合问题（含解析）

|类型1|　反比例函数

1．[2019·龙东地区改编]如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，顶点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是　　　　．

[答案]4

[解析]设A(a，b)，B(a+m，b)，依题意得b=，b=，∴=，化简得m=4a．∵b=，∴ab=1，∴S平行四边形OABC=mb=4ab=4×1=4．

2．[2019·衢州]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，▱ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y=(k≠0)的图象经过点C．且S△BEF=1，则k的值为　　　　．

[答案]24　

[解析]连接OC，过F作FM⊥AB于M，延长MF交CD于N．

设BE=a，FM=b，由题意知OB=BE=a，OA=2a，DC=3a．

因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，所以△BEF∽△CDF，

所以BE∶CD=EF∶DF=1∶3，

所以NF=3b，OD=MN=FM+FN=4b．

因为S△BEF=1，即ab=1，∴S△CDO=CD·OD=×3a×4b=6ab=12，所以k=xy=2S△CDO=24．

3．[2019·随州]如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，D为AB的中点，反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，且与BC交于点E，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为3，则k的值为　　　　．

[答案]4　

[解析]过点D作DH⊥x轴于H点，交OE于M，

∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，

∴S△ODH=S△ODA=S△OEC=，∴S△ODH-S△OMH=S△OEC-S△OMH，

即S△OMD=S四边形EMHC，

∴S△ODE=S梯形DHCE=3，

设D(m，n)，∵D为AB的中点，∴B(2m，n)．

∵反比例函数y=(k>0)的图象经过点D，E，∴E(2m，)，

∴S梯形DHCE=(+n)m=3，

∴k=mn=4．

4．[2019·兰州]如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=(k≠0)的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC=2，点A在反比例函数图象上，连接AC，AO．

(1)求反比例函数y=(k≠0)的表达式；

(2)若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．

解：(1)作BD⊥OC于D，

∵△BOC是等边三角形，

∴OB=OC=2，OD=OC=1，

∴BD==，

∴S△OBD=OD·BD=，

又∵S△OBD=|k|，∴|k|=，

∵反比例函数y=(k≠0)的图象在第一、三象限，∴k=，∴反比例函数的表达式为y=．

(2)∵S△OBC=OC·BD=×2×=，∴S△AOC=3=2．

∵S△AOC=OC·yA=2，∴yA=2．

把y=2代入y=，得x=，∴点A的坐标为，2．

|类型2|　反比例函数与一次函数的综合问题

5．[2018·贵港]如图T5，已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6，n)两点．

(1)求k和n的值；

(2)若点C(x，y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．

解：(1)把B(6，n)代入一次函数y=-x+4中，可得n=-×6+4=1，

所以B点的坐标为(6，1)．

又B在反比例函数y=(x>0)的图象上，

所以k=xy=1×6=6，

所以k的值为6，n的值为1．

(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=．

当x=2时，y==3；当x=6时，y==1，

由函数图象可知，当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.

6．[2019·岳阳]如图，双曲线y=经过点P(2，1)，且与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点．

(1)求m的值；

(2)求k的取值范围．

解：(1)把P(2，1)的坐标代入y=，得：

1=，m=2．

(2)由(1)可知反比例函数解析式为y=，

∴=kx-4，

整理得：kx2-4x-2=0，

∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴Δ>0，

即(-4)2-4k·(-2)>0，

解得：k>-2．

又∵k<0，

∴k的取值范围为-2<k<0．

7．[2018·宜宾]如图，已知反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4，n)．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．

解：(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1，4)，

∴4=，解得m=4，

故反比例函数的表达式为y=．

∵Q(-4，n)在反比例函数的图象上，

∴n==-1，∴Q(-4，-1)．

∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4，-1)，

∴-1=4+b，解得b=-5，

∴一次函数的表达式为y=-x-5．

(2)由题意可得：

解得或

∴P(-1，-4)．

在一次函数y=-x-5中，

令y=0，得-x-5=0，

解得x=-5，故A(-5，0)．

∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=×5×4-×5×1=7.5．

8．[2019·广东]如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)．

(1)根据图象，直接写出满足k1x+b>的x的取值范围；

(2)求这两个函数的表达式；

(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求点P的坐标．

解：(1)x<-1或0<x<4．

(2)把A(-1，4)的坐标代入y=，得k2=-4．∴y=-．

∵点B(4，n)在反比例函数y=-的图象上，∴n=-1．∴B(4，-1)．

把A(-1，4)，B(4，-1)的坐标代入y=k1x+b，

得解得∴y=-x+3．

(3)设直线AB与y轴交于点C，

∵点C在直线y=-x+3上，∴C(0，3)．

S△AOB=OC·(|xA|+|xB|)=×3×(1+4)=7．5，

又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2，

∴S△AOP=×7．5=2．5，S△BOP=5．

又S△AOC=×3×1=1．5，1．5<2．5，

∴点P在第一象限．∴S△COP=2．5-1．5=1．

又OC=3，∴×3×xP=1，解得xP=．

把xP=代入y=-x+3，得yP=．

∴P()．

9．[2019·广州]如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A，P两点．

(1)求m，n的值与点A的坐标；

(2)求证：△CPD∽△AEO；

(3)求sin∠CDB的值．

解：(1)将点P(-1，2)的坐标代入y=mx，

得：2=-m，解得m=-2，

∴正比例函数解析式为y=-2x；

将点P(-1，2)的坐标代入y=，

得：2=-(n-3)，解得：n=1，

∴反比例函数解析式为y=-．

解方程组

得

∴点A的坐标为(1，-2)．

(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP，

即∠DCP=∠OAE．∵AB⊥x轴，

∴∠AEO=∠CPD=90°，

∴△CPD∽△AEO．

(3)∵点A的坐标为(1，-2)，

∴AE=2，OE=1，AO==．

∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE，

∴sin∠CDB=sin∠AOE===．

10．[2019·自贡]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C．

(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；

(3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围．

解：(1)将A(3，5)的坐标代入y2=得，5=，

∴m=15．

∴反比例函数的解析式为y2=．

当y2=-3时，-3=，∴x=-5，

∴点B的坐标为(-5，-3)．

将A(3，5)，B(-5，-3)的坐标代入y1=kx+b得，

解得

∴一次函数的解析式为y1=x+2．

(2)令y1=0，则x+2=0，解得x=-2．

∴点C的坐标为(-2，0)．

设一次函数图象与y轴交于点D．

令x=0，则y1=2．

∴点D的坐标为(0，2)．

连接PB，PC，当B，C和P不共线时，由三角形三边关系知，PB-PC<BC；

当B，C和P共线时，PB-PC=BC，

∴PB-PC≤BC．

由勾股定理可知，

BC==3．

∴当P与D重合，即P点坐标为(0，2)时，PB-PC取最大值，最大值为3．

(3)当y1>y2时，x的取值范围为x>3或-5<x<0．