2021年河南省中考数学解答题专练 1

这是一份2021年河南省中考数学解答题专练 1，共11页。

下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x(x+2y)−(x+1)2+2x
=x2+2xy−x2+2x+1+2x 第一步
=2xy+4x+1 第二步
(1)小颖的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)对此整式进行化简．
有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：_______________________________________________________________
方案三：_______________________________________________________________
已知：|m−1|+n+2=0，
(1)求m，n的值；
(2)先化简，再求值：m(m−3n)+(m+2n)2−4n2．
先化简，再求值：(x+y)(x−y)+y(x+2y)−(x−y)2，其中x=2+3，y=2−3．
任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)(−1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍⋅
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢⋅请写出理由．
阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于−1，记作i2=−1，那么这个i就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为a+bi(a,b均为实数)的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．
例如计算：(5+i)+(3−4i)=(5+3)+(i−4i)=8−3i.
根据上述材料，解决下列问题：
(1)填空：i3=_____，i4=_____；
(2)计算：(2+i)2；
(3)将1+i1−i化为a+bi(a,b均为实数)的形式(即化为分母中不含i的形式)．
有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和−16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
先化简，再求值：(2m+1)(2m−1)−(m−1)2+(2m)3÷(−8m)，其中m是方程x2+x−2=0的根
已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1−x2|=4，求m的值．
1.【答案】解：(2aa2−4−1a−2)÷aa2+4a+4
=2a−(a+2)(a+2)(a−2)⋅(a+2)2a
=2a−a−2a−2⋅a+2a
=a−2a−2⋅a+2a
=a+2a，
由a2+a−6=0，得a=−3或a=2，
∵a−2≠0，
∴a≠2，
∴a=−3，
当a=−3时，原式=−3+2−3=13．
【解析】本题考查分式的化简求值、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后方程a2+a−6=0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．
2.【答案】解：原式=a2−4b2−a2+4ab−4b2+8b2=4ab，
当a=−2，b=12时，原式=−4．
【解析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】解：(1)一；
(2)x(x+2y)−(x+1)2+2x
=x2+2xy−x2−2x−1+2x
=2xy−1．
【解析】
【分析】
本题考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
(1)注意去括号的法则；
(2)根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．
【解答】
解：(1)括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，
故答案为一；
(2)见答案．
4.【答案】解：方案二：a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2，
方案三：a2++
=a2+ab+b22+ab+b22
=a2+2ab+b2=(a+b)2．
【解析】本题考查完全平方公式得验证，解题的关键是利用同一个图形两种不同的面积表示方法得到等式，进一步验证完全平方公式．
5.【答案】解：(1)根据非负数得：m−1=0且n+2=0，
解得：m=1，n=−2，
(2)原式=m2−3mn+m2+4mn+4n2−4n2=2m2+mn，
当m=1，n=−2，原式=2×1+1×(−2)=0．
【解析】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．
(1)根据非负数的和为0的性质进行解答便可；
(2)根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，最后再代值计算．
6.【答案】解：(x+y)(x−y)+y(x+2y)−(x−y)2
=x2−y2+xy+2y2−x2+2xy−y2
=3xy，
当x=2+3，y=2−3时，原式=3×(2+3)(2−3)=3．
【解析】本题考查整式的混合运算−化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．
根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
7.【答案】解：验证(1)∵(−1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3，
∴结果是5的3倍．
(2)平方和为(n−2)2+(n−1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2．
化简得5n2+10=5(n2+2)．
∵n为整数，
∴这个和是5的倍数．
延伸 余数是2．
理由：设中间的整数为n，(n−1)2+n2+(n+1)2=3n2+2被3除余2．
【解析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
(1)先计算算式的值，再确定倍数;
(2)先用代数式表示出五个连续整数的平方和，化简后得出结论;
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
8.【答案】解：(1)−i；1；
(2)原式=4+4i+i2
=4+4i−1
=3+4i；
(3)原式=1+i21−i1+i
=1+2i+i21−i2
=1+2i−11−−1
=2i2
=i．
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式，完全平方公式，分母有理化的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度适中．
(1)根据已知i2=−1代入求出即可；
(2)根据完全平方公式展开，再代入求出即可；
(3)先根据平方差公式分母有理化，再根据公式进行计算，最后代入求出即可．
【解答】
解：(1)i3=i2×i=−i；
i4=i22=−12=1
故答案为：−i；1；
(2)见答案；
(3)见答案．
9.【答案】解：(1)A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：−16−6a；
(2)这个和不能为负数，
理由：根据题意得，25+4a2+(−16−12a)=25+4a2−16−12a=4a2−12a+9；
∵(2a−3)2≥0，
∴这个和不能为负数．
【解析】(1)根据题意列出代数式即可；
(2)根据题意得到25+4a2+(−16−12a)，根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到结论．
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，整式的加减，正确的理解题意是解题的关键．
10.【答案】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2，
方案三：a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b2=(a+b)2．
【解析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
11.【答案】解：原式=4m2−1−(m2−2m+1)+(8m3)÷(−8m)
=4m2−1−m2+2m−1−m2
=2m2+2m−2，
依题意知：m2+m−2=0，即：m2+m=2，
代入原式=2(m2+m)−2=2×2−2=2．
【解析】此题考查整式的混合运算.解答此题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，即：先算乘方、再算乘除，最后算加减，求出最简式子，然后根据题意利用整体代入法代入求值即可．
12.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根，
∴△=(−6)2−4×1×(4m+1)≥0，
解得：m≤2．
(2)∵方程x2−6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∵|x1−x2|=4，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=42，即36−16m−4=16，
解得：m=1．
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)利用根与系数的关系结合|x1−x2|=4，找出关于m的一元一次方程．
(1)根据方程的系数，结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1−x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．