中考数学必考点提分专练09 圆中的有关计算与证明（含解析）

|类型1|　圆的基本性质

1. [2019·福建]如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF.

(1)求证：∠BAC=2∠DAC；

(2)若AF=10，BC=4，求tan∠BAD的值.

解：(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，

在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠CAD，

∵AB=AC，∴=，∴∠ACB=∠ABC.

∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD)，即∠BAC=2∠CAD.

(2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.∵∠BDC=∠BAC，∠BAC=2∠CAD，

∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF=CB.

∵AC⊥BD，∴BE=EF，故CA垂直平分BF，

∴AC=AB=AF=10，

设AE=x，则CE=10-x，

在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB2-AE2=BE2=BC2-CE2，

又∵BC=4，

∴102-x2=(4)2-(10-x)2，

解得x=6，∴AE=6，CE=4，

∴BE==8.

∵∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE，

∴△ADE∽△BCE，∴==，

∴DE=3，AD=3，

过点D作DH⊥AB于H.

∵S△ABD=AB·DH=BD·AE，BD=BE+DE=11，∴10DH=11×6，∴DH=，

在Rt△ADH中，AH==，∴tan∠BAD===.

2.[2019·绵阳] 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.

(1)求证：△BFG≌△CDG；

(2)若AD=BE=2，求BF的长.

解：(1)证明：∵C是的中点，∴=.

∵AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴=，

∴=，∴CD=BF.

在△BFG和△CDG中，∵

∴△BFG≌△CDG(AAS).

(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC，

∵=，

∴∠HAC=∠BAC.

∵CE⊥AB，

∴CH=CE.

∵AC=AC，

∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，

∴AE=AH.

∵=，

∴CD=BC.

又∵CH=CE，

∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，

∴DH=BE=2，

∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，

∴AB=4+2=6.

∵AB是☉O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠BEC，

∵∠EBC=∠ABC，

∴△BEC∽△BCA，

∴=，

∴BC2=AB·BE=6×2=12，

∴BF=BC=2.

3.[2019·合肥瑶海区三模]如图，四边形ABCD是☉O内接四边形，点D是弧BC中点，DE⊥AC，垂足为E，F是CA延长线上一点，且AF=AB.

求证：点E是FC的中点.

证明：连接BD.

∵点D是弧BC的中点，

∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.

又∵∠DAF+∠DAC=180°，∠DAC=∠DBC，

∴∠DAF+∠DCB=180°.

∵四边形ABCD是☉O内接四边形，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∴∠DAF=∠DAB.

又∵AB=AF，AD=AD，

∴△DAF≌△DAB(SAS)，

∴DF=DB，

又∵DB=DC，

∴DF=DC.

又∵DE⊥AC，∴EF=EC，

∴点E是FC的中点.

4.[2019·马鞍山三模]如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G.

(1)若☉O的半径为3，且∠DFC=45°，求弦CD的长；

(2)求证：∠AFC=∠DFG.

解：(1)如图①，连接OD，OC.

∵直径AB⊥CD，

∴=，DE=CE，

∴∠DOE=∠DOC=∠DFC=45°.

又∵在Rt△DEO中，OD=3，则DE=3，CD=6.

(2)证明：如图②，连接AC.

∵直径AB⊥CD，∴=，

∴∠ACD=∠AFC，

∵四边形ACDF内接于☉O，

∴∠DFG=∠ACD，∴∠DFG=∠AFC.

|类型2|　圆的切线判定与性质

5.[2019·菏泽] 如图，BC是☉O的直径，CE是☉O的弦，过点E作☉O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BA⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.

(1)求证：∠ABG=2∠C；

(2)若GF=3，GB=6，求☉O的半径.

解：(1)证明：连接OE，

∵EG是☉O的切线，∴OE⊥EG，

∵BF⊥GE，∴OE∥AB，

∴∠A=∠OEC，∵OE=OC，

∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠C，

∵∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C.

(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°，

∵GF=3，GB=6，∴BF==3，

∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，

∴=，∴=，

∴OE=6，

∴☉O的半径为6.

6.[2019·天水]如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.

(1)求证：PC是☉O的切线；

(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长.

解：(1)证明：连接OC，

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，

∴PA=PC.                                   

在△OAP和△OCP中，

∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP.

∵PA是☉O的切线，∴∠OAP=90°.

∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，

∴PC是☉O的切线.

(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠COB=60°，

∵AB=10，∴OC=5，

由(1)知∠OCF=90°，

∴CF=OCtan∠COB=5.

7.[2019·安庆一模]如图，已知☉O的半径为5，AB为☉O的弦，C为弧AB上一点，过点C作MN∥AB.

(1)若AB=8，MN与☉O相切于点C，求弦AC的长；

(2)连接OB，CB，若四边形OACB是平行四边形，求证：MN是☉O的切线.

.解：(1)连接OC交AB于点D.

∵MN与☉O相切于点C，   ∴OC⊥MN.

∵AB∥MN，    ∴OC⊥AB，

∴AD=AB=×8=4.

在Rt△OAD中，OD===3.

∴CD=OC-OD=5-3=2.

在Rt△ACD中，AC===2.

(2)证明：连接OC.在平行四边形OACB中，OA=OB，

∴平行四边形OACB是菱形，    ∴OC⊥AB.

∵AB∥MN，   ∴OC⊥MN.

∵C为弧AB上一点，   ∴MN为☉O的切线.

8.[2019·合肥五十中二模]如图，在☉O中，AB是直径，点F是☉O上一点，点E是的中点，过点E作☉O的切线，与BA，BF的延长线分别交于点C，D，连接BE.

(1)求证：BD⊥CD；

(2)已知☉O的半径为2，当AC为何值时，BF=DF?并说明理由.

解：(1)证明：如图①，连接OE.

∵CD与☉O相切于点E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO=90°.

∵点E是的中点，

∴=，

∴∠2=∠3.

∵OB=OE，

∴∠2=∠1，

∴∠1=∠3，

∴OE∥BD，

∴∠D=∠CEO=90°，

∴BD⊥CD.

(2)当AC=4时，BF=DF.理由如下：

如图②，连接AF.

∵AB是☉O的直径，

∴∠AFB=90°.

由(1)可知∠D=90°，

∴∠D=∠AFB，

∴AF∥CD，

∴=.

当AC=4时，∵☉O的半径为2，∴AB=4，

此时AC=AB，则==1，

∴BF=DF.