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初中数学北师八下期末测试卷（1）
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这是一份初中数学北师大版八年级下册本册综合随堂练习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等D．有一腰和一角对应相等
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DFB．EB=FCC．DE∥ABD．∠D=∠DEF
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
13．计算：= ．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
三、解答题
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
17．计算（）．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
答案与解析
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】选择题
【分析】根据等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变可对A进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变可对B进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变可对C、D进行判断．
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣2＞y﹣2，故A选项错误；
B、若x＞y，则x＞y，故B选项错误；
C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故C选正确；
D、若x＞y，则﹣x＜﹣y，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】选择题
【分析】本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：不等式组可化为：
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等D．有一腰和一角对应相等
【考点】KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据全等三角形的判定定理即可解答．
【解答】解：A、两条边对应相等，对应相等的边可能是两腰，而底边可能不相等，故不能判定全等，故A选项错误；
B、有两个角对应相等，则三个角对应相等，但边长不一定相等，故B选项错误；
C、根据AAS即可判定全等，故C选项正确；
D、中若不是对应的顶角相等，也不成立，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；要熟练掌握等腰三角形的性质及判定定理．
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DFB．EB=FCC．DE∥ABD．∠D=∠DEF
【考点】Q2：平移的性质．
【专题】选择题
【分析】直接根据图形平移的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△DEF由△ABC平移而成，
∴AC=DF，BE=CF，DE∥AB，∠D=∠A，
∴A、B、C正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bxB．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】61：分式的定义．
【专题】选择题
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．
【解答】解：，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故不是分式．
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=B．x＞C．x＜D．x≠
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【分析】根据分式的分母不等于0，是分式有意义的条件，可得答案．
【解答】解：要使分式有意义，可得3x﹣8≠0，x≠，
故选：D．
【点评】本题考查了分是有意义的条件，分母不等于0时分式有意义．
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
【考点】L9：菱形的判定；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形；
对角线平分且相等的四边形是矩形；
对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B选项错误；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D选项错误；
故选：C．
【点评】考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记．
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360°，
∴内角和是360°，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD=BD，而△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，而AC=5cm，BC=4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
而AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】由于已知的两边，腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰长为2，底边为4时，三边为2、2、4，
2+2=4，不能构成三角形，此种情况不成立；
②当底边为2，腰长为4时，三边为2、4、4，
能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10；
故等腰三角形的周长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】填空题
【分析】x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此可得不等式x+3≥6，
【解答】解：x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．计算：= ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】填空题
【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得．
【解答】解：原式===a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题考查了分式的加减法，本题先变分母，分式相加减，分解因式而得，相互约分而得．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；LC：矩形的判定；LJ：等腰梯形的性质．
【专题】填空题
【分析】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：根据题意画出相应的图形，连接AC、BD，由等腰梯形的性质得到AC=BD，由E、H分别为AD与DC的中点，得到EH为△ADC的中位线，利用三角形的中位线定理得到EH等于AC的一半，EH平行于AC，同理得到FG为△ABC的中位线，得到FG等于AC的一半，FG平行于AC，进而得到EH与FG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到EFGH为平行四边形，再由EF为△ABD的中位线，得到EF等于BD的一半，进而由AC=BD得到EF=EH，根据一对邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【解答】解：顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：
已知：等腰梯形ABCD，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点，
求证：四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC，BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E、H分别为AD、CD的中点，
∴EH为△ADC的中位线，
∴EH=AC，EH∥AC，
同理FG=AC，FG∥AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，又EH=AC，且BD=AC，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理，等腰梯形的性质，平行四边形的判定，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
【考点】4E：完全平方式．
【专题】填空题
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，
∴m﹣1=±12，
解得：m=13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】解答题
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜﹣1，
解②得：x≥﹣9，
则不等式组的解集是：﹣9≤x＜﹣1，
数轴表示为：
．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．计算（）．
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】解答题
【分析】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
【解答】解：原式=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，难度一般，熟练掌握通分、因式分解和约分的知识点．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】根据=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，把x，y代入即可求值．
【解答】解：
=（x2+2xy+y2）
=（x+y）2，
当x=156，y=144时，
原式=（156+144）2=45000
【点评】本题主要考查了代数式的值，正确对所求式子进行分解因式是解决本题的关键．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【分析】根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分钟，由此可得出方程．
【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为3x千米/时，
由题意可列方程为，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
故3x=60；
答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
【专题】解答题
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等知，作出AB，BC的中垂线相交于点P，则点P是所求的点．
【解答】解：如图，
作出AB和BC的中垂线，相交于点P，则点P是所求的到三村距离相等的点．
【点评】本题利用了中垂线的性质求解，解题的关键在于理解中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
【考点】L5：平行四边形的性质；KB：全等三角形的判定．
【专题】解答题
【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，易得AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，继而利用SSS证得△ABD≌△CDB，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，即可利用AAS判定△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)由(1)选择一对，进行证明即可．
【解答】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠ADE=∠CBF，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
同理：△ADE≌△CBF．
∴全等的三角形有：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)选择：△ABD≌△CDB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
【专题】解答题
【分析】连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C=30°，再求出∠APD=∠C=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AD，AC=2AP，整理即可得证．
【解答】证明：如图，连接AP，
∵AB=AC，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣120°）=30°，
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C=90°，
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AP=2AD，AC=2AP，
∴AC=4AD，
∴CD=AC﹣AD=4AD﹣AD=3AD，
即CD=3AD．
【点评】本题考查了直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，根据题意的不相等关系都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个建立不等式组，求出其解即可．
【解答】解：设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，由题意，得
0＜3x+9﹣5（x﹣1）＜5，
解得：4.5＜x＜7
∵x为整数，
∴x=5，6，
当x=5是，
桃子的个数是：3×5+9=24个．
当x=6时，
桃子的个数是：3×6+9=27个．
答：当猴子5个时，桃子24个；当猴子6个时，桃子27个．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据条件的不等量关系建立不等式组是关键．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
【考点】Q2：平移的性质；LH：梯形．
【专题】解答题
【分析】由题意易求得CE，BE的长，然后由勾股定理的逆定理证得△BCE是直角三角形．
【解答】解：∵将线段AD向右平移2cm至CE，
∴AE=CD=2cm，CE=DA=3cm，
∴BE=AB﹣AE=7﹣2=5（cm），
∵BC=4cm，
∴CE2+BC2=BE2，
∴∠BCE=90°，
即△BCE是直角三角形．
【点评】此题考查了平移的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握平移的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．
(2)本题可将三种方案的最大利润都求出来，再进行比较即可．
【解答】解：(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，
根据题意有：，
解得：30≤x≤32，
所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；
②安排A种产品31件，B种产品19件；
③安排A种产品32件，B种产品18件．
(2)∵方案一为：700×30+1200×20=45000元；
方案二为：700×31+1200×19=44500元；
方案三为：700×32+1200×18=44000元．
采用方案①所获利润最大，为45000元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，找出题中隐藏的不等关系甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，列出不等式组解出即可．
一、选择题
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等D．有一腰和一角对应相等
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DFB．EB=FCC．DE∥ABD．∠D=∠DEF
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
13．计算：= ．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
三、解答题
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
17．计算（）．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
答案与解析
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】选择题
【分析】根据等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变可对A进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变可对B进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变可对C、D进行判断．
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣2＞y﹣2，故A选项错误；
B、若x＞y，则x＞y，故B选项错误；
C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故C选正确；
D、若x＞y，则﹣x＜﹣y，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】选择题
【分析】本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：不等式组可化为：
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等D．有一腰和一角对应相等
【考点】KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据全等三角形的判定定理即可解答．
【解答】解：A、两条边对应相等，对应相等的边可能是两腰，而底边可能不相等，故不能判定全等，故A选项错误；
B、有两个角对应相等，则三个角对应相等，但边长不一定相等，故B选项错误；
C、根据AAS即可判定全等，故C选项正确；
D、中若不是对应的顶角相等，也不成立，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；要熟练掌握等腰三角形的性质及判定定理．
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DFB．EB=FCC．DE∥ABD．∠D=∠DEF
【考点】Q2：平移的性质．
【专题】选择题
【分析】直接根据图形平移的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△DEF由△ABC平移而成，
∴AC=DF，BE=CF，DE∥AB，∠D=∠A，
∴A、B、C正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bxB．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】61：分式的定义．
【专题】选择题
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．
【解答】解：，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故不是分式．
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=B．x＞C．x＜D．x≠
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【分析】根据分式的分母不等于0，是分式有意义的条件，可得答案．
【解答】解：要使分式有意义，可得3x﹣8≠0，x≠，
故选：D．
【点评】本题考查了分是有意义的条件，分母不等于0时分式有意义．
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
【考点】L9：菱形的判定；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形；
对角线平分且相等的四边形是矩形；
对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B选项错误；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D选项错误；
故选：C．
【点评】考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记．
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360°，
∴内角和是360°，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD=BD，而△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，而AC=5cm，BC=4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
而AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】由于已知的两边，腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰长为2，底边为4时，三边为2、2、4，
2+2=4，不能构成三角形，此种情况不成立；
②当底边为2，腰长为4时，三边为2、4、4，
能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10；
故等腰三角形的周长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】填空题
【分析】x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此可得不等式x+3≥6，
【解答】解：x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．计算：= ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】填空题
【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得．
【解答】解：原式===a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题考查了分式的加减法，本题先变分母，分式相加减，分解因式而得，相互约分而得．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；LC：矩形的判定；LJ：等腰梯形的性质．
【专题】填空题
【分析】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：根据题意画出相应的图形，连接AC、BD，由等腰梯形的性质得到AC=BD，由E、H分别为AD与DC的中点，得到EH为△ADC的中位线，利用三角形的中位线定理得到EH等于AC的一半，EH平行于AC，同理得到FG为△ABC的中位线，得到FG等于AC的一半，FG平行于AC，进而得到EH与FG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到EFGH为平行四边形，再由EF为△ABD的中位线，得到EF等于BD的一半，进而由AC=BD得到EF=EH，根据一对邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【解答】解：顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：
已知：等腰梯形ABCD，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点，
求证：四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC，BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E、H分别为AD、CD的中点，
∴EH为△ADC的中位线，
∴EH=AC，EH∥AC，
同理FG=AC，FG∥AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，又EH=AC，且BD=AC，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理，等腰梯形的性质，平行四边形的判定，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
【考点】4E：完全平方式．
【专题】填空题
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，
∴m﹣1=±12，
解得：m=13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】解答题
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜﹣1，
解②得：x≥﹣9，
则不等式组的解集是：﹣9≤x＜﹣1，
数轴表示为：
．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．计算（）．
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】解答题
【分析】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
【解答】解：原式=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，难度一般，熟练掌握通分、因式分解和约分的知识点．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】根据=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，把x，y代入即可求值．
【解答】解：
=（x2+2xy+y2）
=（x+y）2，
当x=156，y=144时，
原式=（156+144）2=45000
【点评】本题主要考查了代数式的值，正确对所求式子进行分解因式是解决本题的关键．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【分析】根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分钟，由此可得出方程．
【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为3x千米/时，
由题意可列方程为，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
故3x=60；
答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
【专题】解答题
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等知，作出AB，BC的中垂线相交于点P，则点P是所求的点．
【解答】解：如图，
作出AB和BC的中垂线，相交于点P，则点P是所求的到三村距离相等的点．
【点评】本题利用了中垂线的性质求解，解题的关键在于理解中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
【考点】L5：平行四边形的性质；KB：全等三角形的判定．
【专题】解答题
【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，易得AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，继而利用SSS证得△ABD≌△CDB，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，即可利用AAS判定△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)由(1)选择一对，进行证明即可．
【解答】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠ADE=∠CBF，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
同理：△ADE≌△CBF．
∴全等的三角形有：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)选择：△ABD≌△CDB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
【专题】解答题
【分析】连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C=30°，再求出∠APD=∠C=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AD，AC=2AP，整理即可得证．
【解答】证明：如图，连接AP，
∵AB=AC，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣120°）=30°，
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C=90°，
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AP=2AD，AC=2AP，
∴AC=4AD，
∴CD=AC﹣AD=4AD﹣AD=3AD，
即CD=3AD．
【点评】本题考查了直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，根据题意的不相等关系都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个建立不等式组，求出其解即可．
【解答】解：设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，由题意，得
0＜3x+9﹣5（x﹣1）＜5，
解得：4.5＜x＜7
∵x为整数，
∴x=5，6，
当x=5是，
桃子的个数是：3×5+9=24个．
当x=6时，
桃子的个数是：3×6+9=27个．
答：当猴子5个时，桃子24个；当猴子6个时，桃子27个．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据条件的不等量关系建立不等式组是关键．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
【考点】Q2：平移的性质；LH：梯形．
【专题】解答题
【分析】由题意易求得CE，BE的长，然后由勾股定理的逆定理证得△BCE是直角三角形．
【解答】解：∵将线段AD向右平移2cm至CE，
∴AE=CD=2cm，CE=DA=3cm，
∴BE=AB﹣AE=7﹣2=5（cm），
∵BC=4cm，
∴CE2+BC2=BE2，
∴∠BCE=90°，
即△BCE是直角三角形．
【点评】此题考查了平移的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握平移的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．
(2)本题可将三种方案的最大利润都求出来，再进行比较即可．
【解答】解：(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，
根据题意有：，
解得：30≤x≤32，
所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；
②安排A种产品31件，B种产品19件；
③安排A种产品32件，B种产品18件．
(2)∵方案一为：700×30+1200×20=45000元；
方案二为：700×31+1200×19=44500元；
方案三为：700×32+1200×18=44000元．
采用方案①所获利润最大，为45000元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，找出题中隐藏的不等关系甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，列出不等式组解出即可．
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