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数学八年级下册第六章 平行四边形综合与测试课时训练
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这是一份数学八年级下册第六章 平行四边形综合与测试课时训练，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
2．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）
A．87.5 B．80 C．75 D．72.5
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB=CD B．∠BAD=∠DCB
C．AC=BD D．∠ABC+∠BAD=180°
4．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（ ）
A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米
5．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC=120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
7．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C．AB D．AC
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8B．16C．10D．20
10．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
11．六边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
12．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE= 度．
14．如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是 平方厘米．
15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为 ．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
三、解答题
17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
18．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
19． (1)计算：（2012﹣2016）0+﹣（﹣）﹣2．
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
(1)求证：ED=EF；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的长．
21．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点．求证：△BED≌△DFC．
22．已知EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的角平分线于点B，作∠CAE的角平分线交MN于点D．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．
23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，点E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB=CD，求四边形BDFC的面积．
答案与解析
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5×2=12．
故选C．
【点评】能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
2．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）
A．87.5B．80C．75D．72.5
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”列方程，求AB，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设AB=x，则BC=24﹣x，根据平行四边形的面积公式可得
5x=10（24﹣x），解之得，x=16．
则平行四边形ABCD的面积等于5×16=80,
故选B．
【点评】此题主要考查的知识点： (1)平行四边形的两组对边分别相等； (2)平行四边形的面积等于边长乘以高．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB=CDB．∠BAD=∠DCB
C．AC=BDD．∠ABC+∠BAD=180°
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：A、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．
B、正确．∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=∠DCB，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
C、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．
D、错误．∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，与题目条件，重复，无法判断，四边形是不是平行四边形．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定、等腰梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
4．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（ ）
A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米
【考点】L6：平行四边形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的对边相等，得平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，即6÷2=3，已知一边长可求另一边长．
【解答】解：∵平行四边形周长为6，
∴一边长+另一边长=3，
∴另一边长=3﹣1.6=1.4cm．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的对边相等的性质，把平行四边形的周长转化为两边之和是解决问题的关键．
5．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．
【解答】解：图1中：甲走的路线长是：AC+BC；
图②中：延长AD和BF交于C,
∵∠DAE=∠FEB=40°，
∴AD∥EF，则DC∥EF．
同理EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路线长是：AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC；
图③中，延长AI和BK交于C,
与以上证明过程类似IC=JK，CK=IJ，
即丙走的路线长是AI+IJ+JK+KB=AI+CK+IC+BK=AC+BC；
即甲=乙=丙，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC=120°，则∠A的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．125°
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可解决问题．
【解答】解：∵AD=CB，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=120°，
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的性质定理以及判定定理即可作出判断．
【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．ABB．ACC．ABD．AC
【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．由三角形中位线的性质得到EF=AE．则由平行线的性质和邻补角的定义得到∠DEF=∠BFC=90°﹣∠C，即
∠FBC=∠BFC，等角对等边得到BC=FC，故BC+2AE=AC,
【解答】解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF=AE．
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣（90°+∠C）=90°﹣∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC,
故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8B．16C．10D．20
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=3，
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16,
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】根据三角形中位线定理可知EF=DN，求出DN的最大值即可．
【解答】解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3，
∴BD===6，
∴EF的最大值=BD=3,
故选A．
【点评】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
11．六边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°=720°．
故选C．
【点评】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
12．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
13．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE= 度．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
14．如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是 平方厘米．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【解答】解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432．
【点评】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【分析】延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．
【解答】解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=2,
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
【考点】L3：多边形内角与外角；JA：平行线的性质．
【专题】填空题
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KW：等腰直角三角形．
【专题】解答题
【分析】 (1)①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
(2)连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
【解答】 (1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
(2)连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19． (1)计算：（2012﹣2016）0+﹣（﹣）﹣2．
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
【考点】L3：多边形内角与外角；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)先分别用零指数幂，立方根，负指数化简，再计算即可；
(2)根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解： (1)原式=1﹣2﹣9=﹣10，
(2)∵ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°CD=CB，
∴∠1=36°，
∴∠2=108°﹣36°=72°
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°
【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
(1)求证：ED=EF；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的长．
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】解答题
【分析】 (1)由直角三角形的性质可知DE=AC，由三角形中位线定理可得EF=AB，由条件AB=AC，可证得结论；
(2)由条件可证得△DEF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得DF的长．
【解答】 (1)证明：
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=AE=AC，
∵F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=AB，
∵AB=AC，
∴DE=EF；
(2)解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，
由 (1)可知EF∥AB，AE=DE，
∴∠FEC=∠BAC=30°，∠DEA=2∠DAC=60°，
∴∠FED=90°，
∵AC=6，
∴DE=EF=3，
∴DF==3．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理及直角三角形的性质，利用条件分别得到DE为直角三角形斜边上的中线、EF为三角形的中位线是解题的关键．
21．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点．求证：△BED≌△DFC．
【考点】KX：三角形中位线定理；KB：全等三角形的判定．
【专题】解答题
【分析】先根据三角形中位线定理得出∠EDB=∠C，∠B=∠FDC，再由F是AC边的中点得出FC=AC，
故可得出DE=FC，利用AAS定理即可得出结论．
【解答】证明：∵点D、E分别是BC、AB的中点，
∴ED∥AC，ED=AC，
∴∠EDB=∠C．
又∵F是AC边的中点，
∴FC=AC，
∴DE=FC，
同理可得，∠B=∠FDC，
在△EBD和△FDC中，
∵，
∴△BED≌△DFC（AAS）．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
22．已知EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的角平分线于点B，作∠CAE的角平分线交MN于点D．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)因为NM∥EF，只要证明AD∥BC即可证明．
(2)由四边形ABCD是菱形，推出∠DAC=∠CAB，由∠EAD=∠DAC，推出∠DAC=∠EAD=∠CAB==60°，即可解决问题．
【解答】解： (1)∵EF∥MN，
∴∠ACN=∠EAC，
∵CB平分∠ACN，AD平分∠EAC，
∴∠ACB=∠ACN，∠DAC=∠EAC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠EAD=∠CAB==60°，
∴∠ABC=∠DAE=60°．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，点E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB=CD，求四边形BDFC的面积．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)根据DE=EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC=DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形；
(2)当BC=BD=3，勾股定理求AB，即可解决问题；
【解答】解： (1)∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCDF为平行四边形；
(2)当BC=BD=3时，由勾股定理，得AB==2，
∴四边形BDFC的面积=DF×AB=3×2=6．
【点评】本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．
一、选择题
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
2．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）
A．87.5 B．80 C．75 D．72.5
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB=CD B．∠BAD=∠DCB
C．AC=BD D．∠ABC+∠BAD=180°
4．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（ ）
A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米
5．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC=120°，则∠A的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．125°
7．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．AB B．AC C．AB D．AC
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8B．16C．10D．20
10．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
11．六边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
12．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE= 度．
14．如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是 平方厘米．
15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为 ．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
三、解答题
17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
18．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
19． (1)计算：（2012﹣2016）0+﹣（﹣）﹣2．
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
(1)求证：ED=EF；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的长．
21．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点．求证：△BED≌△DFC．
22．已知EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的角平分线于点B，作∠CAE的角平分线交MN于点D．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．
23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，点E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB=CD，求四边形BDFC的面积．
答案与解析
1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5×2=12．
故选C．
【点评】能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
2．如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则平行四边形ABCD的面积等于（ ）
A．87.5B．80C．75D．72.5
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】选择题
【分析】已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”列方程，求AB，从而求出平行四边形的面积．
【解答】解：设AB=x，则BC=24﹣x，根据平行四边形的面积公式可得
5x=10（24﹣x），解之得，x=16．
则平行四边形ABCD的面积等于5×16=80,
故选B．
【点评】此题主要考查的知识点： (1)平行四边形的两组对边分别相等； (2)平行四边形的面积等于边长乘以高．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要是四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（ ）
A．AB=CDB．∠BAD=∠DCB
C．AC=BDD．∠ABC+∠BAD=180°
【考点】L6：平行四边形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的判定方法，以及等腰梯形的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：A、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．
B、正确．∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=∠DCB，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
C、错误．四边形ABCD是等腰梯形时，也满足条件．
D、错误．∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，与题目条件，重复，无法判断，四边形是不是平行四边形．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的判定、等腰梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
4．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为（ ）
A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米
【考点】L6：平行四边形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的对边相等，得平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，即6÷2=3，已知一边长可求另一边长．
【解答】解：∵平行四边形周长为6，
∴一边长+另一边长=3，
∴另一边长=3﹣1.6=1.4cm．
故选B．
【点评】本题考查平行四边形的对边相等的性质，把平行四边形的周长转化为两边之和是解决问题的关键．
5．图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】延长ED和BF交于C，如图2，延长AG和BK交于C，根据平行四边形的性质和判定求出即可．
【解答】解：图1中：甲走的路线长是：AC+BC；
图②中：延长AD和BF交于C,
∵∠DAE=∠FEB=40°，
∴AD∥EF，则DC∥EF．
同理EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD，DE=CF，
即乙走的路线长是：AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC；
图③中，延长AI和BK交于C,
与以上证明过程类似IC=JK，CK=IJ，
即丙走的路线长是AI+IJ+JK+KB=AI+CK+IC+BK=AC+BC；
即甲=乙=丙，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等．
6．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∠ABC+∠ADC=120°，则∠A的度数是（ ）
A．100°B．110°C．120°D．125°
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可解决问题．
【解答】解：∵AD=CB，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠A=120°，
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形对边平行
B．两组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角相等
D．一组对角相等的四边形是平行四边形
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】根据平行四边形的性质定理以及判定定理即可作出判断．
【解答】解：A、正确；
B、正确；
C、正确；
D、一组对角相等而另一组对角不相等的四边形不是平行四边形，故命题错误．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定定理，正确理解定理是关键．
8．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+∠C，则BC+2AE等于（ ）
A．ABB．ACC．ABD．AC
【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】选择题
【分析】如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．由三角形中位线的性质得到EF=AE．则由平行线的性质和邻补角的定义得到∠DEF=∠BFC=90°﹣∠C，即
∠FBC=∠BFC，等角对等边得到BC=FC，故BC+2AE=AC,
【解答】解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F．则∠BFC=∠DEF．
又∵点D是AB的中点，
∴EF=AE．
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣（90°+∠C）=90°﹣∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC,
故选B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．8B．16C．10D．20
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而不难求得其周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=3，
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16,
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
【考点】KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】根据三角形中位线定理可知EF=DN，求出DN的最大值即可．
【解答】解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=3，AB=3，
∴BD===6，
∴EF的最大值=BD=3,
故选A．
【点评】本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．
11．六边形的内角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°=720°．
故选C．
【点评】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．n边形的内角和为（n﹣2）•180°．
12．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
13．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE= 度．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣125°=55°，
∵CE⊥AB，
∴在Rt△BCE中，∠BCE=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
14．如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD=24cm，BD=18cm．则六边形ABCDEF的面积是 平方厘米．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【分析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．
计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．
【解答】解：连接AC交BD于G，AE交DF于H．
∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，
∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，
∴AE=BD，AC=FD，
∴EH=BG．
平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432．
【点评】此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．
15．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=10，AC=6，则DF的长为 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】填空题
【分析】延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．
【解答】解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=2,
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．
16．如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
【考点】L3：多边形内角与外角；JA：平行线的性质．
【专题】填空题
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KW：等腰直角三角形．
【专题】解答题
【分析】 (1)①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
(2)连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
【解答】 (1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
(2)连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19． (1)计算：（2012﹣2016）0+﹣（﹣）﹣2．
(2)如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
【考点】L3：多边形内角与外角；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；JA：平行线的性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)先分别用零指数幂，立方根，负指数化简，再计算即可；
(2)根据正五边形的内角及等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解： (1)原式=1﹣2﹣9=﹣10，
(2)∵ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°CD=CB，
∴∠1=36°，
∴∠2=108°﹣36°=72°
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180°﹣∠2﹣∠F=72°
【点评】此题是多边形的内角和，主要考查了正五边形的内角的计算，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出正五边形的内角．
20．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
(1)求证：ED=EF；
(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=6，求DF的长．
【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
【专题】解答题
【分析】 (1)由直角三角形的性质可知DE=AC，由三角形中位线定理可得EF=AB，由条件AB=AC，可证得结论；
(2)由条件可证得△DEF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得DF的长．
【解答】 (1)证明：
∵∠ADC=90°，E为AC的中点，
∴DE=AE=AC，
∵F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=AB，
∵AB=AC，
∴DE=EF；
(2)解：
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，
由 (1)可知EF∥AB，AE=DE，
∴∠FEC=∠BAC=30°，∠DEA=2∠DAC=60°，
∴∠FED=90°，
∵AC=6，
∴DE=EF=3，
∴DF==3．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理及直角三角形的性质，利用条件分别得到DE为直角三角形斜边上的中线、EF为三角形的中位线是解题的关键．
21．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点．求证：△BED≌△DFC．
【考点】KX：三角形中位线定理；KB：全等三角形的判定．
【专题】解答题
【分析】先根据三角形中位线定理得出∠EDB=∠C，∠B=∠FDC，再由F是AC边的中点得出FC=AC，
故可得出DE=FC，利用AAS定理即可得出结论．
【解答】证明：∵点D、E分别是BC、AB的中点，
∴ED∥AC，ED=AC，
∴∠EDB=∠C．
又∵F是AC边的中点，
∴FC=AC，
∴DE=FC，
同理可得，∠B=∠FDC，
在△EBD和△FDC中，
∵，
∴△BED≌△DFC（AAS）．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
22．已知EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的角平分线于点B，作∠CAE的角平分线交MN于点D．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)因为NM∥EF，只要证明AD∥BC即可证明．
(2)由四边形ABCD是菱形，推出∠DAC=∠CAB，由∠EAD=∠DAC，推出∠DAC=∠EAD=∠CAB==60°，即可解决问题．
【解答】解： (1)∵EF∥MN，
∴∠ACN=∠EAC，
∵CB平分∠ACN，AD平分∠EAC，
∴∠ACB=∠ACN，∠DAC=∠EAC，
∴∠ACB=∠DAC，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠DAC=∠EAD=∠CAB==60°，
∴∠ABC=∠DAE=60°．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，点E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若CB=CD，求四边形BDFC的面积．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】 (1)根据DE=EC，AF∥BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC=DF，从而得出四边形BCDF为平行四边形；
(2)当BC=BD=3，勾股定理求AB，即可解决问题；
【解答】解： (1)∵AF∥BC，
∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，
又DE=EC，
∴△BCE≌△FDE；
∴DF=BC，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCDF为平行四边形；
(2)当BC=BD=3时，由勾股定理，得AB==2，
∴四边形BDFC的面积=DF×AB=3×2=6．
【点评】本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．
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