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北师大版八年级数学下册压轴题攻略专题02三角形中的三种几何最值模型(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册压轴题攻略专题02三角形中的三种几何最值模型(原卷版+解析)，共45页。
专题02 三角形中的三种几何最值模型类型一、将军饮马模型①一动两定 ②两动一定 例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．例2.如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【变式训练1】如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．【变式训练2】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【变式训练3】如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．类型二、胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，例1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）A． B． C． D．例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．类型三、瓜豆模型问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．例2.如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．【变式训练1】如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．【变式训练2】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）A． B． C．1 D．2【变式训练3】如图所示，为等腰直角三角形，，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )A． B． C． D．2．如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．6.如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值．7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 专题02 三角形中的三种几何最值模型类型一、将军饮马模型①一动两定 ②两动一定 例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．【答案】【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四边形OMNH是平行四边形，∴OM=NH，∴OM+ON= NH+ON．∵O点关于BC的对称点是点K，∴ON=NK，∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，∵，∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，∴． ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8．∵OH= 2，，∴，∴OM+ON的最小值是．例2.如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.【答案】【详解】解：设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD=OB，OA=BC，∴AD+OA=OB+BC，∵AE=AD，∴AE+OA=OB+BC，即OE=OB+BC，∴OB+CB的最小值为OE，由可知∠AFO=30°，F（-4，0），∴FD=3，∠FDG=60°，∴DG=DF=，∴DE=2DG=3，∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=，∴OB+CB的最小值为.例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1)见解析(2)4(3)4【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【变式训练1】如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．【答案】3【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．．由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．四边形为菱形，周长为，，，，，，四边形是平行四边形，．的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【答案】【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【变式训练3】如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．【答案】【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．令中，则，∴点的坐标为；令中，则，解得：，∴点的坐标为．∵点、分别为线段、的中点，∴点，点．∵点和点关于轴对称，∴点的坐标为．设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为．令，则，解得：，∴点P的坐标为．故答案为：．类型二、胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，例1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o，∴DE =CD,即2DE = CD∵A与A'关于BC对称，∴AD= A'D，∴AD+ DE = A'D+ DE∴当A'，D, E在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt△AA' E中：A' E= AA'=×2= 3∴AD十DE的最小值为3，∴2AD十CD的最小值为6故选B例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【答案】【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【答案】4【解析】如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．【答案】4【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为．【详解】（1）∵l1：y＝x＋，∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋，∴当y=0时，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴点C′在直线l2上，∵点C与点C′关于直线l1的对称，∴CC′=2BC=4，设点C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵点C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，设直线C′E的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线C′E的解析式为，联立直线C′E与l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值为．类型三、瓜豆模型问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．【答案】 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为，当重合，而（即）为等边三角形， 故答案为：．例2.如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．【答案】【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到，从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形，则.故答案为．例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．【答案】．【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案为．【变式训练1】如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．【答案】点运动的路径长为．【详解】点为定点，可以看作是绕点顺时针旋转60°而来，点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，，，．点运动的路径长为．【变式训练2】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故选C．【变式训练3】如图所示，为等腰直角三角形，，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．【答案】直线的函数解析式为．【详解】如图所示．当与轴平行时，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， 是等腰直角三角形，点的坐标是，，，又是等腰直角三角形，，，点的坐标为．当与原点重合时，在轴上，此时，即，设所求直线解析式为：，将、代入得解直线的函数解析式为．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )A． B． C． D．【答案】B【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．2．如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．【答案】 【详解】解：①∵为等边三角形，∴，，∴，∵是等边三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案为：．②（将军饮马问题）过点D作定直线CF的对称点G，连CG，∴为等边三角形，为的中垂线，，∴，连接，∴，又，∴为直角三角形，∵，，∴，∴的最小值为．故答案为：．3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：．4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．【答案】6【详解】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6．故答案为：6．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为【详解】解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，∴点B的坐标为（－6，8），∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒，∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），∴线段PQ的中点D的坐标为（，8），即D（，8），∵点D在直线l上，∴∠OBD不可能是直角∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8），则，解得：；当∠BOD＝90°时，点D位于点D2处，则，∵点O（0，0），B（－6，8），D（，8），∴，解得：，∴，此时点D的坐标为（，8），综上所述：当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，∵点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上，∴FE＝FE1，∴当点F、D、E1在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＝DE1，当点F、D、E1不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＜DE1，∴当点F、D、E1在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，∵点E与点E1关于x轴对称，点E（，－4），∴点E1（，4），又∵点D的坐标为（，8），∴，∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为．6.如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值．【答案】的最小值为．【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=∴PB的最小值是．故答案是：．7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．【答案】(1)见解析(2)2或6(3)【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；(2)解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．
专题02 三角形中的三种几何最值模型类型一、将军饮马模型①一动两定 ②两动一定 例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．例2.如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【变式训练1】如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．【变式训练2】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【变式训练3】如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．类型二、胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，例1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）A． B． C． D．例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．类型三、瓜豆模型问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．例2.如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．【变式训练1】如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．【变式训练2】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）A． B． C．1 D．2【变式训练3】如图所示，为等腰直角三角形，，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )A． B． C． D．2．如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．6.如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值．7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值． 专题02 三角形中的三种几何最值模型类型一、将军饮马模型①一动两定 ②两动一定 例1．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=8，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是____________．【答案】【详解】解：过O作OH∥BC，且令OH=2，连接NH，作O点关于BC的对称点K，连接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四边形OMNH是平行四边形，∴OM=NH，∴OM+ON= NH+ON．∵O点关于BC的对称点是点K，∴ON=NK，∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，∵，∴当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长．∵OH∥BC，O点关于BC的对称点是点K，∴． ∵O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，O点关于BC的对称点是点K，∴OK=AB=8．∵OH= 2，，∴，∴OM+ON的最小值是．例2.如图，平面直角坐标系中，点是直线上一动点，将点向右平移1个单位得到点，点，则的最小值为________.【答案】【详解】解：设D（-1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD=OB，OA=BC，∴AD+OA=OB+BC，∵AE=AD，∴AE+OA=OB+BC，即OE=OB+BC，∴OB+CB的最小值为OE，由可知∠AFO=30°，F（-4，0），∴FD=3，∠FDG=60°，∴DG=DF=，∴DE=2DG=3，∴ES=DE=，DS=DE=，∴OS=，∴OE=，∴OB+CB的最小值为.例3．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．【答案】(1)见解析(2)4(3)4【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【变式训练1】如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．【答案】3【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．．由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．四边形为菱形，周长为，，，，，，四边形是平行四边形，．的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．【答案】【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，∴；∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：．【变式训练3】如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．【答案】【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．令中，则，∴点的坐标为；令中，则，解得：，∴点的坐标为．∵点、分别为线段、的中点，∴点，点．∵点和点关于轴对称，∴点的坐标为．设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为．令，则，解得：，∴点P的坐标为．故答案为：．类型二、胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，例1．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o，∴DE =CD,即2DE = CD∵A与A'关于BC对称，∴AD= A'D，∴AD+ DE = A'D+ DE∴当A'，D, E在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt△AA' E中：A' E= AA'=×2= 3∴AD十DE的最小值为3，∴2AD十CD的最小值为6故选B例2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．【答案】6【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．【答案】【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．【答案】4【解析】如图所示，过P作PD⊥AB于D，∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，∴A（0，﹣3），B（3，0），∴AO＝BO＝3，又∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，∴△BDP是等腰直角三角形，∴PDPB，∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，又∵点C（0，1）在y轴上，∴AC＝1+3＝4，∴CDAC＝2，即PC+PD的最小值为，∴PC+PB的最小值为4，故答案为：4．【变式训练3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．【答案】4【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为．【详解】（1）∵l1：y＝x＋，∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋，∴当y=0时，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴点C′在直线l2上，∵点C与点C′关于直线l1的对称，∴CC′=2BC=4，设点C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵点C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，设直线C′E的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线C′E的解析式为，联立直线C′E与l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值为．类型三、瓜豆模型问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，则∠CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.模型总结：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．【答案】 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中，， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为，当重合，而（即）为等边三角形， 故答案为：．例2.如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．【答案】【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动将绕点旋转，使与重合，得到，从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形，则.故答案为．例3．如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．【答案】．【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，故答案为．【变式训练1】如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．【答案】点运动的路径长为．【详解】点为定点，可以看作是绕点顺时针旋转60°而来，点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，，，．点运动的路径长为．【变式训练2】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故选C．【变式训练3】如图所示，为等腰直角三角形，，直角顶点在第二象限，点在轴上移动，以为斜边向上作等腰直角，我们发现直角顶点点随着点的移动也在一条直线上移动，求这条直线的函数解析式．【答案】直线的函数解析式为．【详解】如图所示．当与轴平行时，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， 是等腰直角三角形，点的坐标是，，，又是等腰直角三角形，，，点的坐标为．当与原点重合时，在轴上，此时，即，设所求直线解析式为：，将、代入得解直线的函数解析式为．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为( )A． B． C． D．【答案】B【详解】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．2．如图，等边中，，点E为高上的一动点，以为边作等边，连接，，则______________，的最小值为______________．【答案】 【详解】解：①∵为等边三角形，∴，，∴，∵是等边三角形，∵，，∴，，∴，在和中∴，得；故答案为：．②（将军饮马问题）过点D作定直线CF的对称点G，连CG，∴为等边三角形，为的中垂线，，∴，连接，∴，又，∴为直角三角形，∵，，∴，∴的最小值为．故答案为：．3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：．4．如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，，点F是线段AD上的动点，则的最小值为______．【答案】6【详解】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6．故答案为：6．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（ _________ ），Q（ _________ ）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】（1）－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为【详解】解：（1）∵点A坐标为（ －14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，∴点B的坐标为（－6，8），∵动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒，∴点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），故答案为：－14＋2t，8；－6＋6t，8；（2）由（1）可得：点P、Q的坐标分别为P（ －14＋2t，8），Q（－6＋6t，8），∴线段PQ的中点D的坐标为（，8），即D（，8），∵点D在直线l上，∴∠OBD不可能是直角∴如图，当∠BDO＝90°时，点D位于点D1处，此时点D的坐标为（0，8），则，解得：；当∠BOD＝90°时，点D位于点D2处，则，∵点O（0，0），B（－6，8），D（，8），∴，解得：，∴，此时点D的坐标为（，8），综上所述：当OBD为直角三角形时，，点D的坐标为（0，8）或者，点D的坐标为（，8）；（3）如图，作点E关于x轴的对称点E1，连接DE1并延长，交x轴于点F，连接EF，∵点E与点E1关于x轴对称，点F在x轴上，∴FE＝FE1，∴当点F、D、E1在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＝DE1，当点F、D、E1不在同一直线上时，则FD－FE＝FD－FE1＜DE1，∴当点F、D、E1在同一直线上时，FD－FE＝取得最大值，最大值为线段DE1的长，∵点E与点E1关于x轴对称，点E（，－4），∴点E1（，4），又∵点D的坐标为（，8），∴，∴x轴上存在一点F，使FD－FE的值最大，最大值为．6.如图所示，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为的中点，连接，求的最小值．【答案】的最小值为．【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2．∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°．∴∠DP2P1=90°．∴∠DP1P2=45°．∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2，∴BP1=∴PB的最小值是．故答案是：．7．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．(1)求证：△ABE≌△CBF．(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．【答案】(1)见解析(2)2或6(3)【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；(2)解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，当EH＝1时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，当EH＝3时∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；(3)解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴点A，点G，点C，点D四点共圆，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M是CD的中点，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．
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