2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：6专题六 实际应用题

专题六　实际应用题

类型一 工程问题

(2019·青岛)甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．

(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3 000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7 800元，那么甲至少加工了多少天？

【分析】 (1)根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答．

(2)根据题意列出不等式求解即可．

【自主解答】

1．建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方．

(1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

(2)在抽调甲队外援施工的情况下，为了保证150天完成任务，公司为乙队新购进了一批机械来提高效率，那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务？

类型二 利润问题

(2016·茂名)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：

(1)陈经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价；

(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案：A类图书每本按标价降低a元(0＜a＜5)销售，B类图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？

【分析】 (1)先设B类图书的标价为x元，则由题意可知，A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．

(2)先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为(1 000－t)本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价－总成本，求出最佳的进货方案．

【自主解答】

2．(2019·茂名模拟)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

3．(2019·潮南区模拟)某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．

(1)求该文具店购进A，B两种钢笔每支各多少元？

(2)经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖64支；每涨价3元，每月将少卖12支，求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？

类型三 增长率问题

随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【分析】 (1)根据题意列出一元二次方程求解即可；

(2)根据四月份投递快递的件数与21名快递员最多可投递快递的件数相比即可得解．

【自主解答】

4．广东省某市为了进一步发展教育，2016年投入教育经费7 000万元，2018年投入教育经费8 470万元．如果该市这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

(1)求年平均增长率；

(2)假设2019年的教育经费投入保持相同的增长率，请你计算2019年该市投入教育经费多少万元．

5．(2019·德州)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．

(1)求进馆人次的月平均增长率；

(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．

类型四 分配类问题

(2019·中山模拟)某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．

(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1 060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？

【分析】 (1)利用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；

(2)根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．

【自主解答】

6．某钢铁生产基地现生产了62万吨货物，计划同时租用A型货轮a辆，B型货轮b辆，每辆货轮都载满货物，且准备在一个月内一次运往国外出口．若每辆A型货轮载满货物一次可运货6万吨，每辆B型货轮载满货物一次可运货8万吨．

(1)请你帮该钢铁生产基地设计租用货轮方案；

(2)若A型货轮每辆需租金10万元/月，B型货轮每辆需租金12万元/月．请选出最省钱的租用货轮的方案，并求出最少费用．

7．(2019·霞山区模拟)某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑．已知购买一台电子白板比购买2台台式电脑多3 000元，购买2台电子白板和3台台式电脑共需2.7万元．

(1)求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？

(2)根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为24，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍．问怎样购买最省钱？

参考答案

类型一

【例1】 (1)设乙每天加工这种零件x个，则甲每天加工这种零件1.5x个．

根据题意得＋5＝，

解得x＝40.

经检验，x＝40是原方程的根，且符合题意．

40×1.5＝60(个)．

答：甲、乙两人每天各加工这种零件60个、40个．

(2)设甲加工了a天，

150a＋120×≤7 800，

解得a≥40.

答：甲至少加工了40天．

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1．解：(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方．

根据题意得

解得

答：甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为0.42万立方和0.38万立方．

(2)设乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高z万立方．根据题意得

40(0.38＋z)＋110(0.38＋z＋0.42)≥120，

解得z≥0.112.

答：乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务．

类型二

【例2】 (1)设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元．

根据题意可得－10＝，

化简得540－10x＝360，

解得x＝18.

经检验，x＝18是原分式方程的解，且符合题意，

则A类图书的标价为1.5x＝1.5×18＝27(元)．

答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元．

(2)设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为(27－a)元(0＜a＜5)．

由题意得

解得600≤t≤800，

则总利润w＝(27－a－18)t＋(18－12)(1 000－t)

＝(9－a)t＋6(1 000－t)

＝6 000＋(3－a)t，

∴当0＜a＜3时，3－a＞0，t＝800时，总利润最大，且大于6 000元；

当a＝3时，3－a＝0，无论t值如何变化，总利润均为6 000元；

当3＜a＜5时，3－a＜0，t＝600时，总利润最大，且小于6 000元．

答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．

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2．解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]

＝(x－50)(－5x＋550)

＝－5x2＋800x－27 500，

∴y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)．

(2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500.

∵a＝－5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，

∴当x＝80时，y最大值＝4 500.

(3)当y＝4 000时，－5(x－80)2＋4 500＝4 000，

解得x1＝70，x2＝90.

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4 000元．

3．解：(1)设文具店购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元．

根据题意得解得

答：文具店购进A种钢笔每支15元，购进B种钢笔每支20元．

(2)设B种钢笔每支售价为x元，每月获取的总利润为W，

则W＝(x－20)(64－12×)＝－4x2＋264x－3 680＝－4(x－33)2＋676.

∵a＝－4＜0，

∴当x＝33时，W取得最大值，最大值为676，

答：该文具店B种钢笔销售单价定为33元时，每月获利最大，最大利润是676元．

类型三

【例3】 (1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得10×(1＋x)2＝12.1，

解得x1＝10%，x2＝－210%(舍)．

答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.

(2)4月：12.1×1.1＝13.31(万件)，

21×0.6＝12.6<13.31，

∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．

∵22<<23，∴至少还需增加2名业务员．

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4．解：(1)设年平均增长率为x.

由题意得7 000(1＋x)2＝8 470，

解得x1＝10%，x2＝－210%(舍去)．

答：年平均增长率为10%.

(2)8 470×(1＋10%)＝9 317(万元)．

答：2019年该市投入教育经费9 317万元．

5．解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为

128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，

解得x1＝0.5，x2＝－3.5(舍)．

答：进馆人次的月平均增长率为50%.

(2)能．

理由如下：

由(1)知进馆人次的月平均增长率为50%，

∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50%)3＝432<500，

∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．

类型四

【例4】 (1)设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是 2.5x元，

根据题意可得－＝24，

解得x＝20.

经检验，x＝20是原方程的根，且符合题意，

则2.5x＝50.

答：乙图书每本价格为20元，甲图书每本价格是50元．

(2)设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为 2x＋8，根据题意可得

50x＋20(2x＋8)≤1 060，

解得x≤10，2x＋8≤28.

答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．

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6．解：(1)依题意得6a＋8b＝62，即3a＋4b＝31，

∵a，b都是整数，∴或或

答：有3种租车方案：

方案一：A型货轮9辆，B型货轮1辆；

方案二：A型货轮5辆，B型货轮4辆；

方案三：A型货轮1辆，B型货轮7辆．

(2)∵A型货轮每辆需租金10万元/月，B型货轮每辆需租金12万元/月，

∴方案一需租金：9×10＋1×12＝102(万元)，

方案二需租金：5×10＋4×12＝98(万元)，

方案三需租金：1×10＋7×12＝94(万元)．

∵102＞98＞94，

∴最省钱的租用货轮的方案是方案三：A型货轮1辆，B型货轮7辆，最少费用为94万元．

7．解：(1)设购买一台电子白板需x元，一台台式电脑需y元，

根据题意得解得

答：购买一台电子白板需9 000元，一台台式电脑需 3 000元．

(2)设需购买电子白板a台，则购买台式电脑(24－a)台，根据题意得

24－a≤3a，解得a≥6.

设总费用为w元，

则w＝9 000a＋3 000(24－a)＝6 000a＋72 000.

∵6 000＞0，∴w随x的增大而增大，

∴a＝6时，w有最小值．

答：购买电子白板6台，台式电脑18台最省钱．