2024-2025学年河北省承德市高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若角是第三象限角，角的终边经过点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．设，，，则（ ）
A．B．1C．D．
3．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．
4．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
5．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为圆锥底面圆的两条直径，，圆锥母线与底面所成角的正切值为，若四棱锥的体积为，则圆锥的轴截面面积为（ ）
A．B．C．D．
7．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．
8．函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域是B．的值域是
C．是奇函数D．在上单调递减
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．若，，则
C．
D．若集合中只有一个元素，则
11．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点在动点的轨迹上
B．周长的最小值为
C．当最小时，点的横坐标为4
D．面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前n项和为，且满足，，则 .
13．已知平面向量，的夹角为，若，则的值为 .
14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设的三个内角所对的边分别为且.
(1)求的大小；
(2)若，求的取值范围.
16．已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线．
(1)若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程；
(2)若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程．
17．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4.
(1)求E的标准方程；
(2)过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程；
(3)两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）.
18．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．
(1)求证：；
(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．
19．数列满足，，，数列满足，．
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．
(2)数列的前n项和为，问是否存在最小值？若存在，求的最小值及取得最小值时n的值；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题知
，
，故为第二象限角．
故选：B
2．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，又，
所以，
故选：C.
3．【正确答案】D
【详解】由题知，则，
所以的虚部为．
故选：D．
4．【正确答案】B
【详解】由题知集合，，
∴，
故选：B.
5．【正确答案】C
【详解】由圆可得标准方程为，
因为圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，，，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
6．【正确答案】C
【详解】
如图，设圆锥底面圆的半径为，易知，
又由，可知，则为等边三角形，
所以，
又，为底面圆的直径，故为矩形，
则在中，，
因为平面，
所以圆锥母线与底面所成的角即为，
则有，
则，
则，
解得，
故圆锥的轴截面面积为，
故选：C.
7．【正确答案】A
【详解】因为，，
所以，，，，…，
故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，
故选：A．
8．【正确答案】B
【详解】由题意，函数，可得，
所以，，
所以在处的切线方程为，即.
故选：B
9．【正确答案】AC
【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：
所以的定义域是；故A项正确；
对于B项，的值域是，故B项错误；
对于C项，，令，定义域为， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确；
对于D项，多个单调区间可用逗号（或“和”）隔开，所以在，上单调递减，在上不是单调递减的，故D项错误.
故选：AC.
10．【正确答案】BC
【详解】A选项：当，时，，但不满足，即 “”不是“”的充分条件，A选项错误；
B选项：由题意得，，则，B选项正确；
C选项：由，
得，
所以，即，C选项正确；
D选项：若集合中只有一个元素，则或，得或，D选项错误；
故选：BC.
11．【正确答案】BCD
【详解】由题可知F1,0，设点Mx,y，则，.
，，化简得，即，
则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误；
对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，
则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即.
又，所以周长的最小值为，故B正确；
对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小.
连接，所以.
，，，
所以点的横坐标为，故C正确；
对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可.
直线，即，所以点到直线的距离为，
所以到直线的最大距离为，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】
【详解】因为，所以，
所以，所以是等差数列，公差为3，又，
所以，即.
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由两边平方得，
即，
即，解得.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】作出的图象如图：
由题意函数恰有5个零点，
即有5个根，
令，即有2个不等实数根，
设为，不妨设，则结合图象可知，
令，则，
解得，即，当时，,
此时两根为1和6，符合题意，
故
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得.
而，故.
所以，得，故.
（2）一方面，由余弦定理得，所以由，得.
故，同时，故.
另一方面，对任意，可选取，，构成符合条件的三角形，且.
所以的取值范围是.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）依题意可设M的方程为．
抛物线，顶点为，
将代入M的方程，得，则M的方程为．
（2）由题意易知，．
当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，
则双曲线M的方程为．
当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，
则双曲线M的方程为．
综上所述，双曲线M的方程为或．
17．【正确答案】(1)
(2)或.
(3).
【详解】（1）由题意得，，所以.
因为短轴长为4，所以，解得，所以，
所以E的标准方程为.
（2）

由（1）知，F21,0.
当直线的斜率不存在时，则，，
此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，
则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在.
设直线的方程为，Px1,y1，Qx2,y2，
联立，消去y得，，
，且，.
因为以为直径的圆经过点，所以.
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即，
即直线的方程为或.
（3）

由（1）知，F1−1,0，则直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
联立，消去得，，
由，所以，
所以，，
即，同理可得，
因为，所以，则，
记的中点为，则.
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的面积最大值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，
(3)
【详解】（1）在图①中，由题知：四边形为正方形，且；
则在②中，，，且平面，
则平面；
又，平面，又平面，；
又，且为的中点，则；
又平面，
则平面，又平面，．
（2）由（1）知：平面，平面，
则平面平面；
由题知：二面角的平面角为，则，
则是等边三角形，则；
取的中点为，连接，则,
又平面平面，平面，
所以平面，且，
则可以建立如图所示的空间直角坐标系；
则O0,0,0，、、、，
则、、、，
设，，
则，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
则，则，
令，则，
记直线与平面所成角为，
则，
即，解得，
因此，则．
（3）由（2）知：，
则平面的一个法向量可以为，且，
则点到平面的距离为．
19．【正确答案】(1)证明见解析，；
(2)存在，，.
【详解】（1）由，得，又，则，
即，整理得，由，得，
所以是以首项，公差的等差数列，.
（2）由（1）知，数列是递增等差数列，由，得，
因此前3项均为负数，从第4项起为正数，
所以数列的前n项和存在最小值，此时，.