2024-2025学年河北省承德市承德县高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市承德县高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．或
8．已知，为圆锥底面圆的两条直径，，圆锥母线与底面所成角的正切值为，若四棱锥的体积为，则圆锥的轴截面面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法错误的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的最小值为3
C．和表示同一个函数
D．函数在上单调递减
10．下列选项中正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的对称中心为
C．已知函数，则
D．函数，，其中表示不超过x最大整数，则函数的最大值为l
11．已知直线，圆，则（ ）
A．经过一个定点
B．当时，平分圆的周长
C．当时，与圆相切
D．圆上点到直线距离的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线上一点到的焦点的距离比到轴的距离大4，则 ．
13．已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是 .
14．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，、为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：
①三角形面积的最大值为2；
②三棱锥体积的最大值为
③四面体外接球表面积的最小值为.
以上正确的结论是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，函数，（是自然对数的底数）．
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)若对任意的x∈R恒成立，求实数的值；
(3)在第（2）小题的条件下，若存在，使得，求实数的取值范围．
16．在中，内角A，B，C的对边分别是，，.已知，，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的面积.
17．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由.
18．如图，四棱锥中，底面，，，，，，是线段上的一点（不包括端点）.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为.
19．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A、，.过点，且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的值；
(3)是否存在实数，使直线平行于直线？请证明你的结论.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，得，则，而，
所以.
故选：D
2．【正确答案】A
【详解】由可得，故．
故选：A.
3．【正确答案】A
【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，
反之成立，不一定有数列是等差数列.
故选：A.
4．【正确答案】B
【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可.
【详解】由，当f'x0时，fx极值点的个数为
(2)
(3)
【分析】（1）对和a>0分类讨论，即可得到答案；
（2）先通过题设条件得到，然后证明满足条件即可；
（3）分和进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可.
【详解】（1）当时，由知fx单调递增，所以fx极值点的个数为；
当a>0时，对有，对有，
所以fx在上递减，在上递增，所以fx恰有个极值点.
综上，当时，fx极值点的个数为；
当a>0时，fx极值点的个数为；
（2）根据已知有，所以，故a>0.
此时由（1）中得到的单调性，可知fx仅在处取得最小值.
假设，则，但，这导致矛盾，所以，即.
当时，由（1）中得到的单调性知fx在处取得最小值，所以，确实满足条件.
综上，的值为.
（3）此时，，根据（2）的结论，我们有.
设，则.
再设，则.
情况一：若，则对x>0有，故在上递增，从而对x>0有.
从而在上递增，这就意味着对都有.
从而对任意，都有，不满足条件；
情况二：若，令是两个正数和中较小的一个，则对有.
故在上递减，从而对有.
从而在上递减，这就意味着，所以存在使得，满足条件.
综合以上两种情况，可知的取值范围是.
关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具研究相应函数的单调性.
16．【正确答案】(1)7；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，因为，所以，
根据余弦定理得.
（2）根据正弦定理，得，则，，
故.
（3）的面积.
17．【正确答案】(1)，或
(2)时，；时，
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由已知条件结合等差等比数列的性质，求出首项和公差公比，可得数列通项；
（2）利用错位相减法求和；
（3）利用放缩求的取值范围，判断结论是否成立.
【详解】（1）设等差数列an的公差为，等比数列bn的公比为，
由，得，则，
由，得，解得，则，
所以或，
综上，数列an的通项公式为，数列bn的通项公式为或.
（2）时，，
所以，
于是，
两式相减得：
，
因此；
时，，
所以，
于是，
两式相减得：
，
因此.
（3）时，，所以无意义，固只能，
，
所以，而，所以，
所以对于任意的正整数，有，所以，
因此不存在正整数，使得.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)当为的中点时,
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，即可根据线线垂直证明平面．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
（3）设,,，根据向量法求解直线与平面所成角即可得解．
【详解】（1）底面，平面，，
，
，又，平面
平面．
（2）取的中点，则，，
又底面，，
建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,,，,,
,0,，,,，,,．
设平面的一个法向量,,，
则，取，得,0,，
点到平面的距离为．
（3）设,,，，
则,,,，
解得点,,，即,，
由，
解得（不合题意舍去）或，
当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．

19．【正确答案】(1)；
(2)；
(3)不存在，证明见解析.
【详解】（1）由题可得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题可设直线的方程为，
令，所以.
设，联立 ，
则，
，.
则中点横坐标为，
因为，，所以中点横坐标为.
因为，所以四点共线，设中点为H，则，
所以即，所以H是的中点，
所以即.
（3）不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：
由题意，
若，则，所以，
又，所以，化简得，
所以由得，
又 ，所以，所以，
整理得，无解，
所以不存在实数，使直线平行于直线.