2024-2025学年河北省承德市双滦区高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省承德市双滦区高三上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．对于非零向量是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A．或15B．15C．或D．
6．如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如果，那么下面一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．曲线在点处切线的斜率为
C．在单调递增
D．
11．在平面直角坐标系中，为圆与轴的交点，点为该平面内异于的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线方程为
B．若，则曲线的离心率为
C．若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为
D．若，过原点的直线与曲线交于两点，则面积最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的定义域为，满足，且当时，为单调递增函数，则满足的的取值范围为 ．
13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
14．如图，已知矩形中，，，其中，分别为边，上的点，且，.将四边形折起至四边形，使平面与平面垂直.动点在四边形及其内部运动，动点在四边形及其内部运动.给出下列四个结论：

①存在点，，使得；
②存在点，，使得：
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体的体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)讨论函数y=fx的单调性；
(2)设函数，若函数y=gx在上为增函数，求实数的取值范围．
16．设．
(1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
(2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
17．已知数列满足，.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和.
18．如图，已知四棱柱的底面为菱形，，，，．

(1)若为中点，证明：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，反之不能推出
所以是必要不充分条件.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由题得，
则，解得，
则，其在复平面内对应的点为位于第一象限.
故选：A.
3．【正确答案】C
【详解】由圆可得标准方程为，
因为圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，，，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
4．【正确答案】C
【详解】由题意，即，化简得，
因为，所以，，等式两边同时除以，
得，又，故．
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由，，为等差数列，则，即，即，
解得或（舍去），又，所以.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】取的中点，连接,
则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面，
,,且平面,平面,则,
故四边形为矩形，
故四边形的面积为，
故选：B
7．【正确答案】A
【详解】因为函数有零点，即有解，
故实数的取值范围就是求的值域.
，且，
故函数的值域为，则m的范围为，
故选：A
8．【正确答案】B
【详解】，
，则．
故选：B．
9．【正确答案】BD
【详解】对于A，取，满足由，但
不可以推出：，故A错误；
对于B，由，得，
再利用同向同正不等式可乘性得：，故B正确；
对于C，因为，根据不等式性质有：，故C错误；
对于D，因为，根据不等式性质有：，故D正确；
故选：BD.
10．【正确答案】BCD
【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误；
，，
所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确；
时，，，所以，
故在单调递增，C选项正确；
，在单调递增，则有，得，D选项正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】BCD
【详解】由题，设Px,y，有，且.
对于A，，即，A错误；
对于B和C，，即，
所以离心率为，渐近线方程为，B和C正确：
对于D，，即，
设直线的方程为，有，则，
所以，
而点到直线的距离为，所以，
所以当时，面积取最大值，D正确.
故选：BCD
12．【正确答案】
【详解】根据确定函数的对称轴为，
又当时，为单调递增函数，所以当时，为单调递减函数．
对而言，自变量离对称轴越远，函数值越大，
所以，解得．
故．
13．【正确答案】
【详解】由题意得：，解得：，
，解得：，
所以.
故答案为.
14．【正确答案】①③④
【详解】由题意可得正方形的边长为2，矩形的边，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，

则有，
设，其中，
对①：，则，
当时，有，
故存在点，，使得，故①正确；
对②：，
若，则有，由，
故当时，，
此时有，即，即，
此时与重合，与重合，故不存在点，，使得，故②错误；
对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为，
即有，即，由，
故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确；
对④：，
由，故有，则，
又，
故，故④正确.
故①③④.
15．【正确答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，，
①当时，，函数在R上单调递增；
②当时，令，解得，
，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在R上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，
（2）因为函数y=gx在上为增函数，
所以，在上恒成立．
即在上恒成立．
令，当时，，
所以，在上单调递增，．
所以，，解得，
所以，实数的取值范围为．
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值.
（2）当时，，则，
因为，所以，则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
所以，所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）由，又，
∴，故，且，
∴是首项、公差均为的等差数列.
（2）由（1），，则，又，
∴，则，
∴，，
则，
∴，.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)存在，或．
【详解】（1）由四边形为菱形知，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，，
所以，故，
又，，平面，
所以平面．
如图①，设，
因为四边形是菱形，，
所以，故，
则，，
故，易知，
则，故，所以，
又平面，
易知平面，所以，
又，所以平面．

（2）存在点，理由如下：
如图②，取中点，连接，易知，
则，，两两垂直，故以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，设，
由中点的坐标为，
结合（1）知平面的一个法向量为，
又，，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则,即，
所以，令，得，
故平面的一个法向量为．
则，
解得或，此时或．
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析，．
【详解】（1）右顶点是，离心率为，
所以，，
，则，
椭圆的标准方程为．
（2）直线方程与椭圆方程联立，
得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，
，，
，
，，
即，
，则，
即，
整理得，
或，
均满足
直线或，
直线过定点或2,0（与题意矛盾，舍去）
综上知直线过定点．