（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第11讲 平面向量及其应用 章节总结（2份，原卷版+教师版）

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【典例1】在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，已知两个单位向量和向量 与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）

A． B． C．1 D．
【变式1-2】如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A． B．3 C． D．
题型02平面向量的共线及其推论
【典例2】已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2-1】）已知向量，，若，则的值为 .
【变式2-2】在中，是边上一点，且，是的中点，过点的直线与两边分别交于两点（点与点不重合），设，，则的最小值为 .
题型03平面向量的数量积（定值，最值，范围）
方法一：定义法
【典例3-1】已知点，点，点都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-2】在边长为2的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法二：坐标法
【典例3-2】已知平面向量，，均为单位向量，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知向量，，则
【变式3-4】已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
方法三：自主建系法
【典例3-3】已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型04平面向量的夹角（锐角，钝角，直角）
【典例4】已知向量（1，2），（1，1），若与的夹角为直角，则实数λ＝ ，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
【变式4-1】已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
【变式4-2】已知向量，，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 .
题型05求向量的夹角（定值，最值，范围）
【典例5】在直角梯形ABCD中，，，，，M是CD的中点，N在BC上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ．
【变式5-2】已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型06向量的模与距离（定值，最值，范围）
【典例6】（多选）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式6-1】已知向量，，，，与的夹角为，则的值最小时，实数x的值为 ．
【变式6-2】已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
题型07平面向量与其它知识的交汇题
【典例7】已知向量，函数．
(1)求的解析式与单调递增区间；
(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围．
题型08利用正（余）弦定理解三角形
【典例8】如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为 ．

【变式8-1】如图，在平面四边形ABCD中，，，，CD=4，AB=2，则AC= .
题型09三角形中周长（边）的定值，最值，范围问题
【典例9】在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，点是线段上的一点，，求的周长．
【变式9-2】已知的内角的对边分别为，且．
(1)求外接圆半径.
(2)求周长的最大值．
平面向量及其应用 随堂检测
1.已知向量，，若，则（ ）
A．-6 B．0 C． D．
2.已知平面向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知向量，，则 .
6.的三内角所对边的长分别是，设向量，若向量与向量共线，则角 .
7.已知向量，，若，方向相反，则 ．
8.已知向量，，，若，则等于
9.因为，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 ．
10.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为 ．
11.已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
12.锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.