（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第05讲 平面向量基本定理（2份，原卷版+教师版）

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一、平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使.若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
（2）对平面向量基本定理的理解
①这个定理告诉我们,平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则平面内的任一向量都可用该组基底唯一表示.
②对于确定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.
③同一个非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.
④这个定理可推广为:平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示例示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.
二、平面向量基本定理的有关结论
（1）设,是平面内一组基底，若，当时，与共线；
当时，与共线；当时，，同样的时，.
（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.
题型一：基底的概念及辨析
策略方法 对基底的理解
两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底.
【例1】已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-1】已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1-2】设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式1-3】设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号）
【变式1-4】若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 .
题型二：用基底表示向量
策略方法 用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
【例2】在梯形中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】在中，为边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【变式2-3】在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】在平行四边形ABCD中，点P满足，若，则的值是 ．
【变式2-5】在中，为线段上一点，则.
(1)若，求，的值
(2)若，，，且与的夹角为60°，求的值.
题型三：平面向量基本定理中的参数问题
策略方法
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.
【例3】已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-1】在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】在平行四边形中，是对角线上靠近点的四等分点，点在上，若，则（ ）

A． B． C． D．
【变式3-3】如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-4】已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为 .
【变式3-5】如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，．

(1)当时，用向量，表示；
(2)证明：为定值．
题型四：平面向量基本定理的综合应用
【例4】在三角形中，，，，若点满足，则（ ）
A．4 B． C． D．
【变式4-1】已知为的外接圆的圆心且，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】在中，点是的中点，点在边上，且与交于点，若，则长是（ ）
A．3.8 B．4 C．4.2 D．4.4
【变式4-4】已知是边长为的等边三角形，是边上的动点，是边的中点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
平面向量基本定理 随堂检测
1．已知向量、不共线，且，则的值等于（ ）
A．3B．－3C．0D．2
2.已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3.如图，在中，是的中点．若，则（ ）

A．B．C．D．
4．在中，是边上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知中，D为的中点，，若，则 .
7．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，且，则 ．

8.正的边长为2，D为BC边的中点，则的模等于 ．
9．如图，在中，，E是AD的中点，设，．

(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
10．在中，已知在线段上，且，设．
(1)用向量表示；
(2)若，求．①基底的概念及辨析
②用基底表示向量
③平面向量基本定理中的参数问题
④平面向量基本定理的综合应用