（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第06讲 平面向量的坐标表示（2份，原卷版+教师版）

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一、平面向量的正交分解
（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.
二、平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，
对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，
注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应
②两向量相等时，坐标一样
③，，
④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标
（2）点的坐标与向量的坐标的关系
区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号
②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.
联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
三、平面向量的坐标表示
（1）两个向量和（差）的坐标表示
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
坐标表示：，则：
；
（2）任一向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
，，则.
（3）向量数乘的坐标表示
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
坐标表示:,则.
四、平面向量共线的坐标表示
设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；
用坐标表示,可写为,即：
消去得到：.
这就是说,向量()共线的充要条件是.
题型一：平面向量的正交分解及坐标表示
策略方法
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
【例1】若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，故，故，故，故选：A.
【变式1-1】若向量，，，则可用向量，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可.
【详解】设，即，
则有，解得，则.故选：A.
【变式1-2】如果用分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据向量的坐标表示求出，再根据正交分解即可得解.
【详解】因为，所以，所以.故选：C.
【变式1-3】已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答.
【详解】设，则，，因，
从而有，解得，所以P点的坐标为.故选：A
【变式1-4】向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，再利用平面向量坐标运算求解即可.
【详解】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则，所以.
因为，所以.
所以.所以.故答案为：4
【变式1-5】已知和是两个正交单位向量，，且，则（ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【答案】B
【分析】根据题意得到，，求得，集合向量模的计算公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为和是正交单位向量，，，可得，所以，解得或.故选：B．
题型二：平面向量的坐标运算
策略方法
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【例2】已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出的坐标
【详解】.故选：B.
【变式2-1】已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.
【详解】由P，Q分别为的边，的中点，，得，
点为坐标原点，，因此，所以点C的坐标为.故选：A
【变式2-2】（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（ ）
A． B．
C．若且，则 D．
【答案】BD
【分析】利用平面向量的坐标运算，逐项计算判断即得.
【详解】向量，，则，A错误；，B正确；
令为坐标原点，则，点，C错误；，D正确.故选：BD
【变式2-3】已知向量，，，则 ．
【答案】
【分析】由向量的坐标运算求出，再用坐标表示向量的模=5即可得出的值.
【详解】由题意得，所以，解得．故答案为：
【变式2-4】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，

∴，则，
由，得：，∴，解得，则
题型三：向量共线的判定及其应用
策略方法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【例3】设向量，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】根据，可得，再根据共线向量的坐标公式即可得解.
【详解】因为向量，，所以，所以，解得.故选：B.
【变式3-1】已知向量，若，则实数（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】应用向量加减数乘的坐标运算及平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由题设，又，所以，可得.
故选：C
【变式3-2】已知，，若，则=（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【分析】根据向量平行，求出的值，再结合向量的坐标运算求模.
【详解】因为，所以：.所以：
所以：.故选：C
【变式3-3】已知向量不共线，且，若与共线，则实数的值为（ ）
A．1或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为向量不共线，且，若与共线，则存在实数，使得，
即，则可得，解得或.故选：A
【变式3-4】已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，所以或，即点的坐标为或.故选：C.
【变式3-5】已知，设..
(1)求的值；
(2)求满足的实数的值；
(3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据向量的坐标运算与表示，即可求解；
（2）根据题意求得，结合，列出方程组，即可求解；
（3）根据题意，得到，设，列出方程组，即可求解.
【详解】（1）解：因为，且，
所以，所以.
（2）解：由，因为，可得，解得.
（3）解：因为线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点）
所以，
设，即，
所以，且，解得，，
即的坐标为，点的坐标为，所以.
题型四：向量坐标的线性运算解决几何问题
【例4】已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立直角坐标系，得到的坐标，设，联立解方程组，求出得出结论.
【详解】建立如图直角坐标系，则，，
设，则 所以解得：，故，故选：D.
【变式4-1】如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.
【详解】
建立如图示坐标系，由则有：
因为E为上一点，可设所以.
因为，所以，即，解得：，所以.
由得：，解得：，所以.故选：D
【变式4-2】如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出的坐标，即可得到向量的坐标，由于不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，因为，，
所以,所以,
因为不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数，使，
所以，所以，解得，所以，
故选：D
【变式4-3】已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．5 C．-5 D．4
【答案】B
【解析】以为轴的正方向建立直角坐标系，利用向量的坐标表示求模长的最小值.
【详解】
由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：
设，则
，当取得最小值5.故选：B
【变式4-4】在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3B．C．D．2
【答案】C
【详解】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，则且，
所以当时，的最大值为.故选：C.
平面向量的坐标表示 随堂检测
1.已知，，平面向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的坐标运算求解．
【详解】由已知，故选：D．
2．如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标.
【详解】根据平面直角坐标系，可知，，∴，.故选：C.
3．已知向量，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案.
【详解】，所以，故选：D.
4．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得.
【详解】由，，则，，
由与共线，则有，化简得，即.故选：A.
5．若平面向量与向量平行，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】求得后根据平行向量满足求解即可.
【详解】由题.又且平面向量与向量平行.故,即或.
故选：C
6．已知点，若点是线段中点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意，得到，结合向量的坐标运算与表示，即可求解.
【详解】由题意知，点，且，因为点是线段中点，可得，所以点的坐标为.故答案为：.
7．已知平面内三个向量，，，若，则k= .
【答案】
【分析】先表示出，再由平行向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，，，
，因为，所以，
所以，解得：.故答案为：
8.向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则 .

【答案】4
【分析】首先以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1，再利用平面向量坐标运算求解即可.
【详解】以向量和的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，

则，所以.
因为，所以.所以.
所以.故答案为：4
9．在中，顶点的坐标为，边的中点的坐标为，则的重心坐标为 ．
【答案】
【分析】设的重心为，则，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：设的重心为，则，因为，，
所以，即，解得，即，即的重心坐标为.
故答案为：
10．设向量.
(1)求；
(2)若，，求的值；
【答案】(1)1；(2)2
【分析】（1）先求得，然后求得.（2）根据列方程组，化简求得，进而求得.
【详解】（1），；
（2），所以，解得：，所以.
11．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．
【答案】.
【分析】建立坐标系，用坐标表示出和x＋y，即可建立方程组求出.
【详解】不妨设⊙O的半径为1，以圆心O为坐标原点，以OB，OD为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，
则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，，所以，.
又＝x＋y，所以，
所以，解得， 所以.
①平面向量的正交分解及坐标表示
②平面向量的坐标运算
③向量共线的判定及其应用
④向量坐标的线性运算解决几何问题