（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第08讲 余弦定理（2份，原卷版+教师版）

这是一份（预习）2025年高一数学寒假讲义+随堂检测 第08讲 余弦定理（2份，原卷版+教师版），文件包含预习2025年高一数学寒假讲义+随堂检测第08讲余弦定理原卷版docx、预习2025年高一数学寒假讲义+随堂检测第08讲余弦定理原卷版pdf、预习2025年高一数学寒假讲义+随堂检测第08讲余弦定理教师版docx、预习2025年高一数学寒假讲义+随堂检测第08讲余弦定理教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

一、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
（2）余弦定理的推论
；；
二、利用余弦定理解三角形
（1）解三角形
一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
（2）余弦定理在解三角形中的应用
①已知三角形的三边解三角形
连续用余弦定理求出两角；由三角形内角和定理求出第三个角.
②已知两边和它们的夹角解三角形
用余弦定理求出第三边；用余弦定理求出第二个角；由三角形内角和定理求出第三个角.
③已知两边及其中一边的对角解三角形
例如：已知及角,可以根据余弦定理列出以边为未知数的一元二次方程,根据解一元二次方程的方法,求边,然后应用余弦定理和三角形内角和定理,求出其他两个角.
题型一：已知两边及一角解三角形
策略方法
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
【例1】在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-1】在△ABC中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式1-2】的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】在中，内角所对的边分别为，若，，，则 ．
【变式1-4】在锐角中，，的面积为，则= ．
题型二：已知三边解三角形
策略方法
已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角.
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
【例2】在中，，，，则等于（ ）
A．30° B．120° C．60° D．45°
【变式2-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 .
【变式2-2】在△ABC中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2-3】曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是cm，若，，，则点A运动路径的长度是 cm.
【变式2-4】在中，已知.
(1)求的长
(2)求的值
题型三：判断三角形的形状
策略方法
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或 c2=a2+b2或b2=a2+c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且 b2+c2>a2且c2+a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2