四川省眉山市仁寿县协作体2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集概念求出答案.
【详解】.
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据命题否定的定义判断.
【详解】特称命题的否定是全称命题，
因此命题“”的否定是
故选：D.
3. 已知函数由下表给出，则等于（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义求值.
【详解】由已知，因为，所以，
故选：C．
4. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证.
【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
5. 已知函数则的值为（ ）
A 4B. 5C. 8D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式求得正确答案.
【详解】因为所以，
所以.
故选：B
6. 用一段长为cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设矩形的长为，宽为，则有，再利用基本不等式即可得解.
【详解】设矩形的长为，宽为，，
则，即，
所以这个模型的面积为，
当且仅当时取等号，
所以这个模型的最大面积为.
故选：C.
7. 若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可.
【详解】函数图象的对称轴为直线，
由函数在区间内存在最大值，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
8. 已知关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可.
【详解】由，解得或，
由，解得或，
当时，的解为，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以，解得，
当时，的解为，
因为不等式有且仅有两个整数解，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判断选项中的两个函数的三要素是否都相同即得结果.
【详解】A选项中：与对应关系不同，
故不是同一函数，故A不正确；
B选项中：与定义域都为R，且对应关系相同，
故是同一函数，故B正确；
C选项中：当时，，当时，，所以，
故与是同一函数，故C正确；
D选项中：函数的定义域为，函数的定义域为R，两个函数定义域不同，
故不是同一函数，故D不正确.
故选：BC．
10. 下列说法正确的有（ ）
A. “，使得”的否定是“，都有”
B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是
C. 若，则“”的充要条件是“”
D. 已知，则的最小值为9
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可；
对于B，根据假命题相关知识求解即可；
对于C，根据充要条件相关知识判断即可；
对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可.
【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确；
对于B，若命题“”为假命题，则无实根，
则，得，则实数的取值范围是，故B正确；
对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误；
对于D，，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数，且对任意的，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上是减函数D. 在上的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据赋值法即可求解AB，根据单调性的定义即可求证C，根据单调性，结合赋值法即可求解D.
【详解】，令，则，
解得，故A正确，
令，，则，
因为，解得；故B错误，
令，，且，
则，即
因为当时，，故，
所以，
故，所以在上是增函数；故C错误，
令，则
令得
由于在上是增函数，故在单调递增，故最小值为，故D正确，
故选：AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式分母不为可求结果.
【详解】因为中，所以，
所以定义域为，
故答案：.
13. 函数函数的单调减区间是________，在区间的最大值是_______．
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．
【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线，
对称轴是直线，因此减区间是，
在区间上，时，递增，时，递减，因此，
故答案为：；4.
14. 已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在递减，在递增，
，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，，所以，故；
③即时，在[0，1]递减，，
所以，解得，综上.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若a=1，求；
（2）在①；②中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解.
（2）分析条件两个条件都是，列出不等式即可求出范围.
小问1详解】
当时，，则．
【小问2详解】
选条件①②，都有，
∴解得，
∴实数的取值范围为．
16. 解不等式
（1）
（2）
（3）关于的不等式的解集是，求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解一元一次不等式即可；
（2）根据分式不等式的解法计算即可；
（3）根据一元二次不等式的解集与其对应方程的解之间的关系可得，进而所解的不等式为，解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
由，则，解得，故不等式的解集为.
【小问2详解】
，
又，解得或，
因此不等式的解集为.
【小问3详解】
依题意，关于的不等式的解集是，
所以，解得，
不等式即，
即，解得，
所以不等式的解集为.
17. （1）已知是一次函数，且，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知函数满足，求函数的解析式.
【答案】（1）或；（2）；（3），.
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；
（2）设，利用换元法求解析式即可；
（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.
【详解】（1）因为为一次函数，可设.
所以.
所以，解得或.
所以或.
（2）设，则，，即，
所以，
所以．
（3）由①，
用代替，得②，
得：，
即，.
令，则，.
则：，.
所以，.
18. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费．
（1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式；
（2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？
（3）该企业在维持生产条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？
【答案】（1）；
（2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元；
（3）5年.
【解析】
【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.
（2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解.
（3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解.
【小问1详解】
当时，年利润；
当时，；
所以.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；
当时，，
当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而，
所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元.
【小问3详解】
设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得，
所以企业最短用5年还清所有贷款.
19. 已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在单调递增，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由参变量分离法可得，求出函数在0,4上的最大值，即可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：当时，，
任取、，且，
则，，，，
所以，，所以，函数在单调递增.
【小问2详解】
解：由题，因为，则，
所以，，即，
由（1）知，函数在单调递增，
所以，当时，函数取最大值，即，
所以，，则，
因此，实数的取值范围是.
【小问3详解】
解：对任意的，任意的，恒成立，
即，
令，
因为时，，
则，
所以，对任意的恒成立，
令，则，解得，
所以，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
x
1≤x