备战2025年高考数学二轮复习课件专题1函数与导数专项突破1突破3利用导数研究函数的零点

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在近几年的高考中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题,难度较大,多以压轴题出现.利用导数研究函数零点的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图,数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.
考点一　判断或证明函数零点的个数
例1(2024江西南昌模拟)已知函数f(x)=x(x-3)+(x+2)ex.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若g(x)=f(x)+x(3- x)+ln x+ex(x2-3x-1),求函数g(x)的零点个数.
解 (1)(方法一)因为f(x)=(x+2)ex+x2-3x,所以f'(x)=(x+3)ex+2x-3.记m(x)=f'(x),则m'(x)=(x+4)ex+2,①当x≤-3时,(x+3)ex≤0,2x-3≤-9,可得f'(x)-3时,(x+4)ex>0,m'(x)>0,可知函数m(x)单调递增,又m(0)=0,所以当-30,故f'(x)在定义域上单调递增.易知f'(0)=0,故当x0,f(x)单调递增,故f(x)min=f(0)=2.
当00,g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,x0)内单调递增,在区间(x0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,
[对点训练1](2024福建宁德模拟)已知函数f(x)=ex-4sin x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)证明:f(x)在[0,+∞)上有两个零点.(1)解 因为f(x)=ex-4sin x,所以f'(x)=ex-4cs x,则f(0)=1,f'(0)=-3,故所求切线方程为y-1=-3(x-0),即3x+y-1=0.
(2)证明 设g(x)=f'(x)=ex-4cs x,则g'(x)=ex+4sin x.显然当x∈[0,π]时,g'(x)>0,当x∈(π,+∞)时,g'(x)>eπ-4>0,所以f'(x)在[0,+∞)内单调递增.
考点二　根据函数零点的个数求参数范围
例2(2024江苏常州模拟)已知函数f(x)=1+ln x+2ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个零点,求a的取值范围.
[对点训练2](2024北京怀柔模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1).(1)当a=e时,求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)存在两个极值点,设x1是极小值点,x2是极大值点,若x11,则g'(x)为R上的增函数,当x∈(-∞,u)时,g'(x)0,若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有唯一的零点x0,证明:10,f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(2)证明 ∵g(x)=f(x)-m(x-1)=ex-1-ln x-mx+m(m>0),∴g'(x)=ex-1- -m(x>0,m>0).由(1)可知g'(x)在(0,+∞)内单调递增,且g'(1)=-m0时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当xem-(m+1)>0.∴存在唯一的t∈(1,1+m)⊆(1,+∞),使得g'(t)=0.∴当x∈(0,t)时,g'(t)0,∴p(x)=ex-x2单调递增,当x>0时,p(x)>p(0)=1,∴ex-x2>0,即ex>x2.设k(x)=ln x-x+1,则k'(x)= 由k'(x)1,此时k(x)单调递减,由k'(x)>0,得0