初中数学北师大版（2024）七年级下册3 探索三角形全等的条件课后练习题

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【知识点1 基本事实“边边边”（SSS）】
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.
【题型1 边边边判定三角形全等的条件】
【例1】（2020秋•天心区期中）如图，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是 ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
【解答】解：添加AB＝DC．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴添加一个适当的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
【变式1-1】（2020秋•江城区期末）如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE，还可以添加的一个条件是（ ）
A．AD＝FBB．DE＝BDC．BF＝DBD．以上都不对
【分析】由题意AC＝FE，BC＝DE，根据SSS即可解决问题．
【解答】解：∵AC＝EF，BC＝DE，
∴要根据SSS证明△ABC≌△FDE，
∴需要添加AD＝BF即可．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
【变式1-2】（2021春•铁岭月考）如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（ ）
A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACE
C．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对
【分析】本题已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
故选：A．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
【变式1-3】（2020秋•许昌期中）如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（ ）
A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④
【分析】要利用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，还需要条件AB＝FE，结合题意给出的条件即可作出判断．
【解答】解：由题意可得，要用SSS进行△ABC和△FED全等的判定，需要AB＝FE，
若添加①AE＝FB，则可得AE+BE＝FB+BE，即AB＝FE，
故①可以；
若添加AB＝FE，则可直接证明两三角形的全等，故②可以．
若添加AE＝BE，或BF＝BE，均不能得出AB＝FE，不可以利用SSS进行全等的证明，故③④不可以．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的全等，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【题型2 边边边判定三角形全等（个数问题）】
【例2】（2021春•和平区校级月考）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 个．
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．
【解答】解：如图，
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．
所以可画出6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查全等三角形的判定，三条对应边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【变式2-1】如图：已知AC＝AD，BC＝BD，CE＝DE，则全等三角形共有 对，并说明全等的理由．
【分析】根据已知利用全等三角形的判定方法SSS得出全等三角形即可．
【解答】解：全等三角形共有3对，△ACE≌△ADE，△ACB≌△ADB，△ECB≌△EDB，
理由：在△ECB和△EDB中
，
∴△ECB≌△EDB（SSS），
在△ACE和△ADE中
，
∴△ACE≌△ADE（SSS），
在△ACB和△ADB中
，
∴△ACB≌△ADB（SSS）．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式2-2】（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．
【解答】解：
与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
【变式2-3】（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28B．29C．30D．31
【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，平移，对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【题型3 利用“边边边”尺规作图】
【例3】（2020秋•临颍县期末）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是 （用字母写出）．
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】
解：①设已知角的顶点为O，以O为圆心，任意长度为半径画圆，交角两边为A，B两点；
②用直尺画一条射线，端点为M，以M为圆心，用同样的半径画圆，该圆为圆M，交射线为C点；
③以A为圆心，以AB为半径画圆，然后以C点为圆心，以同样的半径画圆，交圆M于D，E两点，随意连MD或者ME；
得到的∠CMD就是所求的角；
由以上作角过程不难看出有三个对应边相等．
∴证明全等的方法是SSS．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查的关键是作角的过程，作角过程中所产生的条件就是证明全等的条件．
【变式3-1】（2020春•赫章县期末）如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是 ．
【分析】根据同圆或等圆的半径相等得两三角形的对应边相等，再根据SSS定理证明△OCP≌△ODP．
【解答】解：
∵OC＝OD，PC＝PD（同圆或等圆的半径相等），
OP＝OP（公共边），
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故填SSS．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；题目说明了利用尺规作图方法作角平分线时要满足三角形全等的方法SSS．
【变式3-2】（2020春•靖远县校级期中）如图，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC＝∠A．
【分析】分两种情况：①当所作的角在∠DAC内时，②当所作的角在BC下方时，首先以A为圆心，任意长为半径画弧，交AD、AC于M、F，再以B为圆心，AM长为半径画弧，交BC于N，再以N为圆心，MF长为半径画弧，交前弧与H，过H作射线BE可得∠EBC＝∠A．
【解答】解：如图所示：
①当所作的角在∠DAC内时：
；
②当所作的角在BC下方时：
．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法，注意要分类讨论，不要漏解．
【变式3-3】在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的（如图）．
（1）分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD；
（2）连接CD，并量出CD的长度，取CD的中点E；
（3）过O，E两点作射线．则OE就是∠AOB的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．
【分析】求证OE是∠AOB的平分线，实际是求证∠COE＝∠DOE，也就是证明这两个角所在的三角形全等．
【解答】解：在△OCE与△ODE中，
∴△OCE≌△ODE（SSS）；
∴∠COE＝∠DOE（全等三角形的对应角相等）；
∴OE就是∠AOB的平分线．
故小燕子这样作是正确的．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，求证在不同三角形的两个角相等，通常是利用全等来进行证明．
【题型4 边边边判定三角形全等（实际应用）】
【例4】（2020秋•德城区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是 ．
【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，
∵在△MCO和△NCO中，
∴△COM≌△CON（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC是∠AOB的平分线．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
【变式4-1】（2019秋•慈利县期末）雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AEAB，AFAC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【分析】证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题OA＝OA公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出角相等．
【解答】解：雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD＝∠CAD，
理由如下：
∵AB＝AC，AEAB，AFAC，
∴AE＝AF，
在△AOE与△AOF中，
，
∴△AOE≌△AOF（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形，得出对应角相等．
【变式4-2】（2020春•定边县期末）如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．
【分析】用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行判定．
【解答】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．
理由如下：∵在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即AD⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，关键在于利用全等三角形对应角相等判断∠ADB＝∠ADC＝90°．
【变式4-3】（2020秋•河北期中）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF．
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△AOE≌△COE（SSS），进而得出∠AOE＝∠COE，同理可得∠COE＝∠FOD，即可得出答案．
【解答】证明：在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE（SSS），
∴∠AOE＝∠COE，
同理∠COE＝∠FOD，
∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△AOE≌△COE是解题关键．
【题型5 边边边判定三角形全等（求角的度数）】
【例5】（2020秋•郯城县期中）如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．110°B．125°C．130°D．155°
【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD．
【解答】解：
在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，
∴∠ACB＝∠ECD（∠BCD﹣∠ACE）（155°﹣55°）＝50°，
∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，
∴∠APB＝∠ACB＝50°，
∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
【变式5-1】（2020春•舞钢市期末）如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，连接AF；
（1）∠B与∠C相等吗？请说明理由．
（2）若∠B＝40°，∠DFC＝20°，若AF平分∠BAE时，求∠BAF的度数．
【分析】（1）由“SSS”可证△AEB≌△DFC，可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC＝20°，可求∠EAB＝120°，由角平分线的性质可求解．
【解答】解：（1）∠B＝∠C，
理由如下：∵CE＝BF，
∴BE＝CF，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（SSS），
∴∠B＝∠C；
（2）∵△AEB≌△DFC，
∴∠AEB＝∠DFC＝20°，
∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝120°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF∠BAE＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
【变式5-2】（2021秋•富宁县校级月考）如图△ABC中，点D在AC上，E在AB上，且AB＝AC，BC＝DC，AD＝DE＝BE．
（1）求证：△BCE≌△DCE；
（2）求∠EDC的度数．
【分析】（1）运用SSS定理易证明△BCE≌△DCE；
（2）设∠A＝x，根据题意得方程，5x＝180°，即可解得x＝36°，进而得到∠EDC的度数．
【解答】解：（1）证明：在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SSS）．
（2）∵AD＝DE，
∴∠A＝∠AED，
∴∠EDC＝∠A+∠AED＝2∠A，
设∠A＝x，根据题意得，
5x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠EDC＝2∠A＝72°．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，解题时需要结合三角形的内角和与外角的相关知识进行计算．
【变式5-3】（2020秋•陇县期中）如图，CA＝CB，AD＝BD，M、N分别为CA、CB的中点，∠ADN＝80°，∠BDN＝30°，则∠CDN的度数为（ ）
A．40°B．15°C．25°D．30°
【分析】由“SSS”可证△CAD≌△CBD，可得∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B，由“SAS”可证△ADM≌△BDN，可得∠ADM＝∠BDN＝30°，即可求解．
【解答】解：在△CAD和△CBD中，
，
∴△CAD≌△CBD（SSS），
∴∠CDA＝∠CDB，∠A＝∠B，
又∵AC＝CB，M，N分别为CA，CB的中点，
∴AM＝BN，又AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN（SAS），
∴∠ADM＝∠BDN＝30°，
∵∠ADN＝80°，
∴∠ADM+2∠CDN＝80°，
∴∠CDN＝25°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
【题型6 边边边判定三角形全等（探究与证明）】
【例6】（2020秋•秀屿区校级期中）如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE．求证：∠DAB＝∠EAC．
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，可用SSS判定两个三角形全等．
【解答】证明：在△ADC与△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SSS），
∴∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC﹣∠BAC＝∠EAB﹣∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；用SSS判定两个三角形全等是正确解决问题的关键．
【变式6-1】如图，已知AB＝DC，DB＝AC
（1）求证：∠ABD＝∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
【分析】（1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形．
【解答】证明：（1）连接AD，
在△BAD和△CDA中

∴△BAD≌△CDA（SSS）
∴∠ABD＝∠DCA（全等三角形对应角相等）
（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单．
【变式6-2】（2020秋•荔城区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2．
【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2．
【解答】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，
∵∠3＝∠BAD+∠ABD，
∴∠3＝∠1+∠2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式6-3】（2020春•莲湖区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，若CE＝BF，AE＝EF+BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．
【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到∠AEC＝∠BFC＝90°，由于CF＝CE+EF，CE＝BF，得到CF＝EF+BF，于是得到AE＝CF，证得△ACE≌△CBF，得出∠BCF＝∠CAE，然后根据∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，即可得到结论．
【解答】解：AC⊥BC，理由如下：
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵CF＝CE+EF，CE＝BF，
∴CF＝EF+BF，
∵AE＝EF+BF，
∴AE＝CF，
在△ACE≌△CBF中，
∴△ACE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，
∴AC⊥BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．