北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件综合训练题

第10讲 全等辅助线（一）

知识点1 截长补短

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.

如图，在线段上截取.

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.

如图，延长到点D，使得.

【典例】

例1 （2020秋•淇滨区校级月考）“截长补短法”证明线段的和差问题：

先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．

背景材料：

（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　EF＝BE+FD　．

探索问题：

（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．

【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

故答案为：EF＝BE+DF．

（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；

理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF．

【方法总结】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•思明区校级期中）如图，放置的是一副斜边相等的直角三角板，其中AB＝BC，连接BD交公共的斜边AC于O点．

（1）证明：BD平分∠ADC；

（2）求∠COD的度数．

【解答】（1）证明：过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠BAE+∠BCD＝180°，

∵∠BCF+∠BCD＝180°，

∴∠BCF＝∠BAE，

∵AB＝BC，

∴△ABE≌△CBF（AAS），

∴BE＝BF，

∴BD平分∠ADC；

（2）解：∵△ABE≌△CBF，

∴∠BAE＝∠BCF＝75°，

∵∠OCF＝COD+∠ODC，∠BCO＝∠ODC＝45°，

∴∠BCF＝∠COD＝75°．

知识点2 倍长中线

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．

其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．

例如：

其中，延长使得，则．

【典例】

例1 （2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．

（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；

（2）求证：BG＝CF．

【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∵AD∥EF，

∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，

∴∠F＝∠FGA，

∴AG＝AF，

∵CF＝6，AG＝2，

∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；

（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．

∵BG∥CM，

∴∠B＝∠MCE，

∵E是BC中点，

∴BE＝EC，

在△BEG和△CEM中，

，

∴△BEG≌△CEM，

∴BG＝CM，

∵AD∥EF，

∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，

∵∠1＝∠2，

∴∠F＝∠FGA，

∵AB∥CM，

∴∠FGA＝∠M，

∴∠F＝∠M，

∴CF＝CM，

∴BG＝CF．

【方法总结】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．

例2（2019春•牡丹区期末）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连结CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是　SAS　；中线BD的取值范围是　1＜BD＜9　．

（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．

【解答】（1）解：∵BD是AC边上的中线，

∴AD＝CD，

在△ABD和△CED中，

，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴CE＝AB＝10，

在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE﹣BC，

∴10﹣8＜AE＜10+8，即2＜BE＜18，

∴1＜BD＜9；

故答案为：SAS；1＜BD＜9；

（2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示：

同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），

∴AF＝CN，

∵DM⊥DN，FD＝ND，

∴MF＝MN，

在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，

∴AM+CN＞MN

【方法总结】

主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．

【随堂练习】

1．（2020秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．

（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．

求证：BE+CF＞EF．

【解答】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．

则AE＝2AD，

在△ABD与△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴AB＝EC，

在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；

（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．

∵FD垂直平分EG，

∴EF＝FG，

在△EDB与△GDC中，

，

∴△EDB≌△GDC（SAS），

∴BE＝CG，

在△FCG中，CF+CG＞FG，

即CF+BE＞EF．

综合运用

1．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）

A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．

【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，

∵AD为BC边上的中线，

∴BD＝CD，

在△EDB和△ADC中，

，

∴△EDB≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC＝3，

∵△ABE中，AB＝5，

∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，

∴2＜AE＜8，

∵AE＝2AD，

∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．

故选：C．

2．（2019秋•武冈市期中）如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD，求证：AE＝2AC．

【解答】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，

∵AC是△ABD的中线，

∴BC＝DC．

∵∠ACB＝∠FCD，

∴△ABC≌△FDC（SAS）．

∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，

又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，

∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，

∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，

∴△ADE≌△ADF（SAS），

∴AE＝AF＝2AC．

3．（2019秋•下陆区期中）【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．

A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL

（2）求得AD的取值范围是　C　．

A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF．

【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选C．

（3）证明：

延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF．

日期：2021/1/28 21:03:33；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626

4．（2020春•姑苏区期末）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　2　cm2．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．

【解答】解：（1）由题意可得，

AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，

则△EAC的面积是：2（cm2），

即四边形ABCD的面积为2cm2，

故答案为：2；

（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，

在△GFH和△NFO中，

，

∴△GFH≌△NFO（SAS），

∴FH＝FO，

∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，

∴HM＝OM，

在△HFM和△OFM中，

，

∴△HFM≌△OFM（SSS），

∵△OFM的面积是：2cm2，

∴△HFM的面积是2cm2，

∴四边形HFOM的面积是4cm2，

∴五边形FGHMN的面积是4cm2．

日期：2021/1/28 20:12:03；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626