2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破14阿基米德三角形(七大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176641577" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176641577 \h 2
\l "_Tc176641578" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176641578 \h 3
\l "_Tc176641579" 题型一：定点问题 PAGEREF _Tc176641579 \h 3
\l "_Tc176641580" 题型二：交点的轨迹问题 PAGEREF _Tc176641580 \h 9
\l "_Tc176641581" 题型三：切线垂直问题 PAGEREF _Tc176641581 \h 13
\l "_Tc176641582" 题型四：面积问题 PAGEREF _Tc176641582 \h 17
\l "_Tc176641583" 题型五：外接圆问题 PAGEREF _Tc176641583 \h 24
\l "_Tc176641584" 题型六：最值问题 PAGEREF _Tc176641584 \h 31
\l "_Tc176641585" 题型七：角度相等问题 PAGEREF _Tc176641585 \h 36
\l "_Tc176641586" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176641586 \h 41
如图所示，为抛物线的弦，，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边．
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
3、若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为．
6、点的坐标为；
7、底边所在的直线方程为
8、的面积为．
9、若点的坐标为，则底边的直线方程为．
10、如图1，若为抛物线弧上的动点，点处的切线与，分别交于点C，D，则.
11、若为抛物线弧上的动点，抛物线在点处的切线与阿基米德三角形的边，分别交于点C，D，则．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
图1
题型一：定点问题
【典例1-1】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：给出如下三个条件：①焦点为；②准线为；③与直线相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．
【解析】（1）C：即C：，
其焦点坐标为，准线方程为，
若选①，焦点为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选②，准线为，则，得，
所以抛物线的方程为；
若选③，与直线相交所得的弦为2，
将代入方程中，得，
即抛物线与直线相交所得的弦长为，
解得，所以抛物线的方程为；
（2）设，，，切线：，
将其与C：联立得，
由得，
故切线：，即；
同理：
又点满足切线，的方程，
即有
故弦AB所在直线方程为，其过定点．
【典例1-2】（2024·山东滨州·一模）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．
【解析】（1）设，则，，
，，
所以，可以化为，
化简得．
所以，的方程为．
（2）由题设可设，，，
由题意知切线，的斜率都存在，
由，得，则，
所以，
直线的方程为，即，①
因为在上，所以，即，②
将②代入①得，
所以直线的方程为
同理可得直线的方程为．
因为在直线上，所以，
又在直线上，所以，
所以直线的方程为，
故直线过定点．
【变式1-1】（2024·广东·模拟预测）已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意，圆心的轨迹E是以F为焦点，l：y＝－1为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E为x2＝4y．
（2）依题意，直线AB斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，．
由，得，故．
，由x2＝4y，得，故切线 PA，PB的斜率分别为
由 PA⊥PB，得：，
所以m＝1，这说明直线 AB 过抛物线E的焦点F，则切线．
联立，消去y得：，即，
则，即，
于是P到直线AB：kx－y＋1＝0的距离．
．
设原点到直线kx－y＋1＝0的距离为，则，所以．
因为，所以， 化简整理得，无解，
所以满足条件的点P不存在．
【变式1-2】设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵当时，，
∴，
所以，
即抛物线的方程为；
（2）∵在第一象限且时，
∴，
设，，
由，可得，
则，
∵，
同理，又
∴，即，
∴，即，
所以，即
所以直线恒过定点；
（3）取，设的切线为，
则，即，
把代入，
解得，
直线，若直线与圆：相切，
则，又，
解得或（舍去），
下面证明过曲线上任意一点（除原点）作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切，
设，切线为，，
由，可得，
∴，
由，可得，
所以，
∴，即，
同理可得，
故，
所以直线，
所以圆心到直线的距离为
，
又，
∴，
综上，可得过曲线上任意一点，存在实数，使直线与圆相切.
【变式1-3】（2024·河南·模拟预测）已知动点到直线的距离比到定点的距离大1.
（1）求动点的轨迹的方程.
（2）若为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，为的中点.
①求证：轴；
②直线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由动点到直线的距离比到定点的距离大1得，
动点到直线的距离等于到定点的距离，
所以点的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中，
轨迹方程为.
（2）①设切点，，，所以切线的斜率为，
切线.
设，则有，化简得.
同理可得.
所以，为方程的两根.
则有，，所以.
因此轴.
② 因为，
所以.又因为，
所以直线，即.
即直线过定点.
题型二：交点的轨迹问题
【典例2-1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于D，两点，过点D，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
（2）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
（3）设，，，
过D的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
【典例2-2】已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
【解析】（1）
设点，，则，
因为以E为圆心，以为半径的圆的最小面积为，
所以，
所以（负值舍去），解得，
所以抛物线C的标准方程为．
（2）设，，
易得，由题意知直线MN的斜率一定存在，
则设直线MN的方程为，
联立得，
，所以，．
由，得，则切线的斜率为，
则切线的方程为，即①．
同理可得切线的方程为②．
①②得，
代入①得，，
所以点P的轨迹方程为．
【变式2-1】（2024·高三·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，点满足方程.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）作曲线关于轴对称的曲线，记为，在曲线上任取一点，过点作曲线的切线，若切线与曲线交于、两点，过点、分别作曲线的切线、，证明：、的交点必在曲线上.
【解析】（1）由，
两边平方并化简，得，即，
故点的轨迹的方程为.
（2）依题可设点，，
曲线切于点的切线的斜率为，
切线l的方程为，整理得，
依题可知曲线，，
联立方程组，即，，
设，，则，，
设曲线上点处的切线斜率为，
切线方程为，整理得，
同理可得曲线上点处的切线方程为，
联立方程组，解得，
因为，，
所以，，、的交点坐标为，
满足曲线的方程，即、的交点必在曲线上.
【变式2-2】已知抛物线C：，过点的直线交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：；
(2)证明：点M在定直线上.
【解析】（1）证明：由题意知，直线的斜率存在，
设直线与抛物线交于不同的两点，，
设直线的方程为，
联立，消去得，，且，
则
由，得，
，，
.
（2）证明：直线与交于点M，设，
抛物线在点A处的切线方程为，
即，
同理，在点B处的切线方程为.
联立，解得，
将式代入化简得，
则点在定直线上.
题型三：切线垂直问题
【典例3-1】已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）若点坐标为，求切线的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直.
【解析】（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，
点坐标为，过点的切线方程为，
联立方程，消去，得，
由，解得，
所以切线的方程分别为和，
即切线方程分别为和；
（2）设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立方程，消去，得，
由，得，记关于的一元二次方程的两根为，
则分别为切线的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直.
【典例3-2】已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【解析】（1）
由抛物线C的方程为，则其准线方程为
由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
此时抛物线C的两条切线方程分别为和.
（2）
点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根
故.
【变式3-1】已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）设椭圆和抛物线的方程分别为，，，
椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，
，解得，，
椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）由题意知过点与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，设，则切线方程为，
联立，消去，得，
由，得，
直线，的斜率分别为，，，
为定值．
【变式3-2】如图，已知抛物线的焦点是，准线是，抛物线上任意一点到轴的距离比到准线的距离少2.
（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点（均与不重合），直线分别交于点，求证：.
【解析】（1）由题意知，任意一点到焦点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为，
所以抛物线的焦点为，准线的方程为；
（2）设直线的方程为：，令，
联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，
由根与系数的关系得：
直线方程为：，
当时，，∴，同理得：，
∴，
∴
，
∴，∴.
题型四：面积问题
【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的准线方程为，直线l与C交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），过点O作交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意可得，即，所以抛物线方程为
设，则，
因为，所以，
及，又由题意可知，所以
又，且
所以，
即，
又因为点D在直线AB上，且，
所以，即，
所以，
由①②式可得，
当时，，解得；，此时；
当时，消可得，，即，
点2,0同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以，
综上，点D的轨迹E的方程为；
（2）因为，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为，的斜率分别为，则
切线方程为，即，
令，得，
，
又，消元得
因为相切，所以，
即
易知的斜率分别为是方程③的两个根，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
，当且仅当，即时，取等号.
综上，面积的最小值为8.
【典例4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线，点在抛物线上．
(1)证明：以R为切点的的切线的斜率为；
(2)过外一点A（不在x轴上）作的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线（切点为D），点、分别是与AB、AC的交点（如图）．
（i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点；
（ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．再由点、确定的切线三角形，，并依这样的方法不断作1，2，4，…，个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于．
【解析】（1）设是以为切点的的切线，则.
由于该直线和有唯一公共点，故联立后的方程组只有唯一解.
从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解.
此方程展开即为，从而，所以.
（2）（i）设，，则.
根据上一小问的结论，可知在和处的切线分别是和.
联立两直线解得，所以.
由于不在轴上，所以，故，所以的纵坐标是，从而.
而，在外，在上，所以直线的方程是.
这表明该直线通过的中点，所以直线与的交点就是的中点，即.
而，，故的中点坐标为，这就是点的坐标，所以是的中点.
（ii）
由于是的中点，和平行，故分别是的中点.
所以，.
首先有.
从而，.
而，故根据点的一般性可知对外的任意一点，该点确定的切线三角形的面积为.
再由，，可知，同理.
这就表明，不断作个切线三角形后，第次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第次作的切线三角形的面积的.
而，所以第次作的切线三角形的面积均为.
设所有切线三角形的面积之和为，由于第次作的切线三角形的个数为，故.
从而，这就得到
，
所以，即，结论得证.
【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知抛物线：的焦点为，点是轴下方的一点，过点作的两条切线，且分别交轴于两点.
(1)求证：，，，四点共圆；
(2)过点作轴的垂线，两直线分别交于两点，求的面积的最小值.
【解析】（1）
设，若过点且斜率为的直线与抛物线相切，则联立后得到的关于的方程只有一个实数根.
此即关于的二次方程的判别式等于零，即，得.
另一方面，该直线与轴交于点，而该点与的连线的斜率为.
所以，过点作抛物线的切线后，该切线与轴的交点到焦点和点的连线互相垂直.
这就说明，从而，所以，，，四点共圆.
（2）由的定义知其方程为，设的斜率分别为，则根据第1小问的解析，知都是关于的方程即的根.
故，.
由于均过点Px0,y0，故其方程分别为和.
在中令，得，从而得到，同理.
所以.
由，可设，则，进而得到
.
所以
（这里使用了不等式）
.
另一方面，当时，的斜率分别是，可求得，.
从而此时，故.
综上，的面积的最小值是.
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.
【解析】（1）由题意得，抛物线的焦点，则直线：，
圆的圆心为，半径，则，解得或（舍去），
∴抛物线的方程为.
（2）设，
对于函数，求导得，
∴切线的斜率为，
∴切线的方程为，
即，即，
同理可得切线的方程为，
又点在两切线上，∴，
∴直线的方程为.
联立，得，
∴
且，
点到直线的距离，
∴.
∵，∴，∴
即面积的取值范围是.
题型五：外接圆问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·二模）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．
【解析】（1）若同时满足①②：由，可得AB过焦点，
当时，而，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①，可得AB过焦点，
因为直线AB的方程为，不可能过焦点，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②；
且直线AB的方程为，所以，解得．
所以抛物线C的标准方程为．
（2）如图：
设直线AB的方程为，
联立方程组，整理得，
则．因为，直线AN，BN的斜率之和为0，
即，
所以，
即，
所以，即．
（3）设过点A，B，E的三条切线分别为，倾斜角分别为，
令，
由得：：
所以：；：；：.
联立直线方程可得
联立直线方程可得
又，
所以.
所以：四点共圆，即的外接圆过焦点F．
【典例5-2】已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点．
【解析】（1）
当，时，直线，联立得，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）
设Ax1,y1，Bx2,y2，因为，所以，，，
联立并整理得，由韦达定理得，，
由得，从而，
所以直线即，令得，所以
同理直线，令得，所以
联立、：得，所以，
因为，，所以的外接圆圆心落在直线上，
由，知线段中点，，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立得，
所以外接圆圆心坐标为，
所以，
所以圆的方程为，
即，
令得，所以的外接圆过定点0,2.
【变式5-1】已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
【解析】（1）∵，与抛物线相切于，两点，
设在左侧，则，，
由得，所以，
所以的斜率为，的斜率为，
此时方程：，即．
方程：，即，联立得；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，
由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即，
直线的斜率为，直线方程为，即，
所以且，，
设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以，
设外接圆方程为：过，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圆过定点；
（3）：，所以，，
所以，
到的距离为，所以，
设，，，由，
，当且仅当时等号成立．
所以，
令，，
在上单调递减，上单调递增，
所以，所以面积的最小值.
【变式5-2】设抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线的准线上. 过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 . 已知抛物线上有一动点 ，位于点 之间. 若抛物线在点 处的切线与切线 相交于点 . 求证：
(1)直线 AB经过点 ;
(2)的外接圆过定点.
【解析】（1）由题意知，抛物线的焦点为，准线方程为，
设，点，则，
得直线的方程为，且，化简得①.
同理可得，切线的方程为②.
又因为切线过点，所以有；同理可得.
所以直线的方程为，故直线经过点.
（2）设点，由（1）可知曲线在点处的切线方程为.
联立方程组，得且，，解得，
即，同理解得，
由（1），设过点P的切线方程为，
，消去y，得，，得，
记关于的一元二次方程的两根为，其中分别为切线PA、PB的斜率，
则，所以，故线段即为的外接圆的直径.
设直线AB方程为，由，消去可得，
则，
因为，
所以
将代入上式，可得，
所以的外接圆过定点.
题型六：最值问题
【典例6-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在上，直线：与相离．若到直线的距离为，且的最小值为．过上两点分别作的两条切线，若这两条切线的交点恰好在直线上．
（1）求的方程；
（2）设线段中点的纵坐标为，求证：当取得最小值时，．
【解析】（1）由题意，得F(0,p2)，且的最小值等于点到直线的距离，
即，解得（负值舍去），
∴抛物线的方程为．
（2）由，得，故，设，，
则切线方程分别为，，
设两切线的交点为，
代入切线方程并整理可得：，，
即，是方程的实数根．
则，，
则线段中点纵坐标为
，
∴当时，取最小值．
此时，，，，，
则
．
∴．
解法二：（同解法一）
∴当时，取最小值．
此时，，由得，
故，
∴．
【典例6-2】如图已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，与轴分别交于.
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记两点到直线的距离分别为；求当取最大值时的面积.
【解析】（1）设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，得，
因为相切，所以，即得，
设是该方程的两根，由韦达定理得：，
分别表示切线斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点，
所以，
所以直线为：，得，
直线方程为：，
所以过定点.
（2）由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，所以，
分居直线两侧可得
，
所以
，
∴
∴当且仅当等号成立，
又由，令得：，
.
【变式6-1】在直角坐标系中，已知抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，当在轴上时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）当在轴上时，即，由题意不妨设则，
设过点的切线方程为，与联立得，
由直线和抛物线相切可得，，所以
由得，∴，，
由可得，解得，
∴抛物线的方程为；
（2），∴，
设，，则，又，所以
即，同理可得，
又为直线上的动点，设，
则，，
由两点确定一条直线可得的方程为，
即，∴直线恒过定点，
∴点到直线距离的最大值为.
【变式6-2】从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线，从点发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别为A、B，求的取值范围．
【解析】（1）由题设，令，，根据抛物线性质知：直线必过焦点，
所以，则，整理得，，则，
所以抛物线C的方程为.
（2）由题意，，且，，，
所以，
而，
令，则，
所以，，
综上，，
又，，若，则，
由，当，即时，无最大值，
所以，即，故，，
令，则，
令，在上恒成立，即递减，所以.
题型七：角度相等问题
【典例7-1】（2024·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．
【解析】（1）证明：设，，则，
直线的方程为，即，
又因为直线过点，所以，即，
设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或，
又因为直线与抛物线相切，所以，即，
所以直线的方程为，即，
同理直线的方程为，
由，解得，即，
故点P在直线上．
（2）证明：∵，，
注意到两角都在内，可知要证．即证.
而，，
所以，
又，
所以，同理，
即有，故．
【典例7-2】如图所示，设抛物线C：的焦点为F，动点P在直线l：上运动，过P作抛物线C的两条切线，，切点分别为A，B，求证：.
【解析】证明：设切A、B的坐标分别为和（）.
可得切线的方程为；切线的方程为，
解得点P的坐标为，.
则，，.
由于点P在抛物线外，即.
∴.
同理有，
所以
综上可知：.
【变式7-1】已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1），，
椭圆半焦距长为，，，
，
动点到定直线与定点的距离相等，
动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，
轨迹的方程是；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设，
，
，则，
切线的方程为：
同理，切线的方程为：
联立方程组可解得的坐标为，
在抛物线外，
，，
同理
【变式7-2】（2024·广东汕头·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆与抛物线交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明：．
【解析】（1）由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，
代入抛物线方程可得2p=1，
所以抛物线的方程为x2=y，
设，，
所以，
所以直线AB的方程为，
即，
因为直线AB过点C(0，2)，
所以，所以①.
因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
直线PA的方程为，
即，
同理直线PB的方程为，
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2），，
注意到两角都在内，
可知要证， 即证，
，，
所以，
又，所以，
同理式得证.
1．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
【解析】（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，,
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
2．抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为
阿基米德三角形
对于抛物线给出如下三个条件：
①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程
(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．
【解析】（1）即为，
若选①，抛物线方程为，
选②，由准线为知，，解得，所以抛物线方程为.
选③，代入，解得，所以弦长为，解得，
所以抛物线方程为.
（2）令，，，则，,
，,
即为，
又即，
同理，，
，
而过点即
点在直线上
3．在平面直角坐标系中，圆：外的点在轴的上半部分运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若从点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过定点.
【解析】（1）设，依题意，.
因为在圆外，所以到上点的最小距离为，
依题意得，即，
化简得点的轨迹方程为（）
（2）已知直线的斜率一定存在.
不妨设直线的方程为.
联立，整理得，其中，
设，，则，.①
由抛物线的方程可得：，∴.
∴过的抛物线的切线方程为，
又代入整理得：.
切线过，代入整理得：
同理可得.
∴，为方程的两个根，
∴，.②
联立①②，得，.
则直线的方程为，直线恒过定点.
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，其中为切点.
（1）求曲线的方程；
（2）判断直线是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.
【解析】（1）曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离少1
得动点到点的距离与到直线：的距离相等
又由抛物线的定义可知，曲线为抛物线，焦点为，准线为：
曲线的方程为
（2）设点，，
由，即，
得.
抛物线在点处的切线的方程为
即.
，
，
点在切线上，
①，
同理②
综合①、②得，点，的坐标都满足方程
即直线：恒过抛物线焦点
5．已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小
．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在直线上，过点分别作曲线的切线、，切点为、．
（ⅰ）求证：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标；
（ⅱ）在直线上是否存在一点，使得为等边三角形（点也在直线上）？若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由
【解析】（1）因为到点的距离与到直线的距离相等，故的轨迹为抛物线且方程为.
（2）（ⅰ）设点，则，
则曲线在处的切线方程为：即，
同理，曲线在处的切线方程为：，
由得到，因在直线上，所以即，
又，整理得到，
故直线恒过.
（ⅱ）设直线，由得到，故中点的横坐标为，纵坐标为，，
设的中点为，的中垂线与的交点为，则，，
当时， ，
故时，，也满足上式，
因为为等边三角形，故，
即，
解得，故，
当时，，令，故得，故，
同理当时，，
综上，.
6．已知动点P在x轴及其上方，且点P到点的距离比到x轴的距离大1.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.
【解析】（1）设点，则，即
化简得
∵∴.
∴点的轨迹方程为.
（2）对函数求导数.
设切点，则过该切点的切线的斜率为，
∴切线方程为.
即，
设点，由于切线经过点Q，
∴
设，则两切线方程是，，
所以过两点的直线方程是，
即
∴当，时，方程恒成立.
∴对任意实数t，直线恒过定点.
7．（2024·高三·全国·课后作业）设为抛物线：上的两个动点，过分别作抛物线的切线，与轴分别交于两点，且与相交于点，若．
（1）求点的轨迹方程；
（2）求证：的面积为一个定值，并求出这个定值．
【解析】（1）设，，，
，，
联立，消去并整理得，
所以，得，
则，即，
同理可得，
在中，令，得，依题意可得，所以，则，
同理可得，
因为，所以，
联立，解得，
所以，
所以.
所以点的轨迹方程为.
（2）证明：设直线的方程为．
联立,消去，并整理得，
所以，，
点到直线的距离，
，
所以，
即的面积为定值2．
8．如图所示，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.
(1)求p的值；
(2)求动点M的轨迹方程．
【解析】（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.
（2）由（1）知抛物线E：y2＝2x，
设C，D，y1≠0，y2≠0.切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，
代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－＝0，
由Δ＝0，解得k＝，∴l1的方程为y＝x＋，
同理l2的方程为y＝x＋.
联立解得
易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0满足＝8，x0∈[2，2 ]，
由得x0y2＋2y0y－16＝0，
则代入
可得M(x，y)满足可得
代入＝8，并化简，得－y2＝1.
考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，
∴动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．
9．（2024·高三·陕西咸阳·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同两点，为拋物线上任意一点（与不重合），直线分别交抛物线的准线于点.
（Ⅰ）写出焦点的坐标和准线的方程；
（Ⅱ）求证：.
【解析】（I）由抛物线方程知：焦点，准线为：
（II）设直线的方程为：
令，，
由消去得：，则.
直线方程为：
即
当时，
同理得：
，

10．（2024·江苏·模拟预测）抛物级的焦点到直线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证： .
【解析】（1）由题意知：，
则焦点到直线的距离为：，
所以抛物线的方程为：；
（2）证明：
把直线代入消得：，
又，
利用韦达定理得，
由题意设切线的斜率为，切线的斜率为，点坐标为，
由（1）可得：，
则，
所以，
则切线的方程为：，切线的方程为：，
则，
利用韦达定理化简整理得：，
把代入整理得：
，
则，
，
则
11．设抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点．
(1)若，求的方程．
(2)以，为切点分别作抛物线的两条切线，证明：两条切线的交点一定在定直线上，且．
【解析】（1）由题意得，设直线的方程为，，，
联立消元得，所以，．
因为，
由题设知，解得，所以的方程为．
（2）设与抛物线相切的切线方程为，
则化简得．
由，可得．
将点坐标代入方程，可得，，
所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，
联立方程组可得，，
所以交点在定直线上．
当时，显然成立；
当时，，则，所以．
综上所述，．
12．已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
(1)求抛物线C的方程：
(2)当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【解析】（1）因为准线方程为，所以，解得，
抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
对求导可得，
故过M的切线方程为，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因为两切线均经过，
所以
，均在直线上，
可知MN：，当得，，解得，
则MN与y轴的交点坐标为．
联立，整理得，
由韦达定理，，，
则，
又因为在圆，则，
代入可得，
，
因为，所以，．
构造，，，
易知在上恒成立，故在上单调递增，
当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为．
13．已知抛物线与双曲线有共同的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意，抛物线的焦点为，
由双曲线可得，
即可得，解得，
所以的方程为
（2）如图所示，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
联立方程组整理得，
所以，且，
所以
由，可得，则，
所以抛物线的过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为，
由解得，
所以，
所以到直线的距离，
所以的面积
，
当时，，
所以面积的最小值为.
14．（2024·河南·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设的方程为，
因为圆经过抛物线的焦点，
所以，解得，
所以的方程为.
（2）如图所示，
设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
因为，所以，
即当时，，所以面积的最小值为.
16．（2024·高三·浙江嘉兴·期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.
【解析】（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为.
（2）设动点，切点，.
设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立，
消去x整理得，，所以，
所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为，
联立解得两切线的交点，所以有.
因为，
又G在定直线，所以有，即P的轨迹为，
因为P在抛物线外，所以.
如图，取AB中点Q，则，
所以，因为，
所以，所以，所以当时，.