2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破04双变量与多变量问题(七大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc169099192" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169099192 \h 2
\l "_Tc169099193" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169099193 \h 2
\l "_Tc169099194" 题型一：双变量单调问题 PAGEREF _Tc169099194 \h 2
\l "_Tc169099195" 题型二：双变量不等式:转化为单变量问题 PAGEREF _Tc169099195 \h 3
\l "_Tc169099196" 题型三：双变量不等式:极值和差商积问题 PAGEREF _Tc169099196 \h 5
\l "_Tc169099197" 题型四：双变量不等式:中点型 PAGEREF _Tc169099197 \h 6
\l "_Tc169099198" 题型五：双变量不等式:剪刀模型 PAGEREF _Tc169099198 \h 7
\l "_Tc169099199" 题型六：双变量不等式:主元法 PAGEREF _Tc169099199 \h 8
\l "_Tc169099200" 题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换 PAGEREF _Tc169099200 \h 10
\l "_Tc169099201" 03过关测试 PAGEREF _Tc169099201 \h 11
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
题型一：双变量单调问题
【典例1-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【典例1-2】已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．
【变式1-1】已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，如果对任意，，求证：.
【变式1-2】（2024·安徽·三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式1-3】已知函数.
(1)若函数在点处的切线与直线平行，求的方程；
(2)判断命题“对任意恒成立”的真假，并说明理由；
(3)若对任意都有恒成立，求实数m的取值范围.
【变式1-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，且．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
【典例2-1】设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
【典例2-2】（2024·高三·天津宁河·期末）已知函数，．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设是函数的两个极值点，证明：．
【变式2-1】已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
【变式2-2】（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数．
(1)求曲线在点处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若，满足，且，求的取值范围．
【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，为函数的两个零点，求证：．
【变式2-4】已知函数．若有两个零点，且，证明：．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
【典例3-1】已知函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值.
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
【变式3-1】（2024·四川德阳·二模）已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.
【变式3-2】（2024·广东佛山·二模）已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.
题型四：双变量不等式:中点型
【典例4-1】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记函数的图象为曲线C.设点，是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点，使得:①;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.
【典例4-2】已知函数，．
(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．
(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．
【变式4-1】已知函数．
(1)若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
(2)设，若函数存在两个零点，且．问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
【变式4-2】（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
题型五：双变量不等式:剪刀模型
【典例5-1】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若方程有两个实数根，，且，证明：.
【典例5-2】已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．
(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．
题型六：双变量不等式:主元法
【典例6-1】（2024·高三·北京·开学考试）已知.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设，求的单调区间；
(3)求证：当时，.
【典例6-2】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．
【变式6-1】已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的最小值，并证明：当时，．（其中e为自然对数的底数）
【变式6-2】已知函数（其中为自然对数的底数）．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，求证：，．
【变式6-3】设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.
题型七：双变量不等式:差值代换与比值代换
【典例7-1】已知函数．
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，
（i）求实数的取值范围;
（ii）求证:．
【典例7-2】已知函数有三个极值点，，（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的最大值．
【变式7-1】（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．
1．（2024·四川南充·二模）已知函数有三个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
2．（2024·四川·一模）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若有2个零点，证明：．
3．已知是函数的导函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设为函数的两个零点且，证明：．
4．已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)当，时，证明：.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
6．已知函数.
(1)试判断函数的单调性；
(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.
7．（2024·福建龙岩·二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
8．（2024·新疆·三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围，并证明．
13．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.
14．已知函数，其中为常数．曲线过点，曲线关于点中心对称．
(1)求的值;
(2)记．
（i）讨论在区间上的单调性;
（ii）若存在两个极值点，且，求的取值范围．
15．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，求的取值范围．
16．（2024·四川成都·一模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数存在两个极值点且满足，求的取值范围.
17．（2024·内蒙古包头·二模）设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，
①求a的取值范围；
②证明：．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：．