2025年新高考数学一轮复习第8章重难点突破12双切线问题的探究(七大题型)练习(学生版+教师版)

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\l "_Tc176607706" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc176607706 \h 2
\l "_Tc176607707" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176607707 \h 2
\l "_Tc176607708" 题型一：定值问题 PAGEREF _Tc176607708 \h 2
\l "_Tc176607709" 题型二：斜率问题 PAGEREF _Tc176607709 \h 7
\l "_Tc176607710" 题型三：交点弦过定点问题 PAGEREF _Tc176607710 \h 13
\l "_Tc176607711" 题型四：交点弦定值问题 PAGEREF _Tc176607711 \h 19
\l "_Tc176607712" 题型五：交点弦最值问题 PAGEREF _Tc176607712 \h 27
\l "_Tc176607713" 题型六：交点弦范围问题 PAGEREF _Tc176607713 \h 31
\l "_Tc176607714" 题型七：“筷子夹汤圆”问题 PAGEREF _Tc176607714 \h 38
\l "_Tc176607715" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176607715 \h 47
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点设出切线方程．
②和曲线方程联立，求出判别式．
③整理出关于双切线斜率的同构方程．
④写出关于的韦达定理，并解题．
题型一：定值问题
【典例1-1】已知直线与抛物线：交于，两点．是线段的中点，点在直线上，且垂直于轴．
(1)求证：的中点在上；
(2)设点在抛物线：上，，是的两条切线，，是切点．若，且位于轴两侧，求证：．
【解析】（1）设，
联立，消去得，
则，
所以
所以，则，
所以的中点坐标为，满足，
故的中点在上；
（2）由（1）得，设直线的方程为，即，
联立，消去得，解得或，
又位于轴两侧，故，
设点在抛物线上，又对于：有，所以
则在点处的切线方程为，
整理得，设，，
则在与处的切线方程分别为与，又两条切线都过点，
则，，
则直线的方程为，即，
又，则点在直线上.
由（1）知，而，
则.
而
.
联立，消去得，
则，，
则.
所以.
【典例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的一条准线的方程为，点分别为椭圆的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2．
(1)求的标准方程；
(2)过上任一点作的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值．
【解析】（1）由题意得，解得所以，
所以的标准方程为．
（2）如图，取上任意一点，设，
当位于点处时，切线与轴垂直，不合题意，故．
设切线的方程为①，
联立
整理得，
由，得．
因为在上，所以，
故，
代入①式，整理得，同理得切线的方程为．
因为两条切线都经过，所以，
所以直线的方程为．
联立整理得，
所以②．显然与异号．
由题意知，所以．
设，则，
将②式代入并整理，得．
因为，所以易知在上单调递增，所以当时，有最小值，即有最大值，为36．所以当时，四边形的面积最大，最大面积为6．
此时直线的方程为，故直线与轴垂直．
设与的交点为，显然是椭圆的右焦点，
所以，
所以，
所以．
【变式1-1】（2024·云南·模拟预测）已知椭圆的离心率为，上､下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为，过点作椭圆的两条切线，切点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求所在直线的方程；
(3)过点作直线交椭圆于两点，交直线于点，求的值.
【解析】（1）由题意可知：①
又，所以②，
由①②及，所以，
所以椭圆的方程为：.
（2）先证：过椭圆上一点Ax1,y1的切线方程为，
证明如下：当过椭圆上一点的切线斜率存在时，
设切线方程为，
则可得：，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简可得：，
所以，代入可得：
，
于是，
故切线方程为：，即，
又，故切线的方程为：，
当过椭圆上一点Ax1,y1的切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意.
所以过椭圆上一点Ax1,y1的切线方程为，
故切线的方程为：，
同理：切线的方程为：，又因为过点，
所以，，
所以：，故直线的方程为.
（3）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，
联立椭圆的方程，
得，
令，
所以.
令，解方程组得.
又
，
所以.
题型二：斜率问题
【典例2-1】如图，点为抛物线外任意一点，过点作抛物线两条切线分别切于两点，的中点为，直线交抛物线于点．
(1)证明：（为直线在轴上的截距），且直线方程为；
(2)设点处的切线，求证．
【解析】（1）∵点在抛物线上，
∴，
由，得，所以；
所以在点的切线方程为，
即，
②-①得：，即，
∴，
将点代入切线方程得：，
令方程为，代入得：，
由，得，
∴，，
∴，
∴直线过定点，
故方程为；
（2）由（1）知，所以，
因为点坐标为，所以以点为切点的切线斜率为，
故．
【典例2-2】已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【解析】（1）
由抛物线C的方程为，则其准线方程为
由于点P的纵坐标为0，所以点P为，过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0，设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
此时抛物线C的两条切线方程分别为和.
（2）
点P在抛物线C的准线上，设
由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0，
设其斜率为k则切线方程为
联立
由于直线与抛物线C相切，可知，即
而抛物线C的两条切线的斜率，即为方程的两根
故.
【变式2-1】（2024·高三·浙江·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于A，B两点.
(1)求的面积；
(2)点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（1）
∵，∴，∴
设过曲线上一点的切线的方程为：，
由可得，
则，即.
又因为切点为Q，所以，所以解得，
则过点的切线的方程为：.
设，，
∴交轴于点，联立直线与圆的方程
消得，∴，.
∴，
∴.
（2）
设，，，则
设过点的双曲线的切线方程为：，
由（1）可知，
又因为，则，即（*）
而，所以，，
则（*）式可化为，即
可得，，则切线方程为，
整理可得过点M的双曲线的切线方程为.
同理可得过点的双曲线的切线方程为.
又两切线均过点，则，
因此，直线的方程为
联立直线与双曲线的方程，
消可得，故
所以
因为，则，则
所以.
【变式2-2】在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程.
【解析】（1）根据题意可得，即，
整理可得，
因此曲线的方程为；
（2）如下图所示：
设，则，
又点不在坐标轴上，所以且；
因此直线的方程为，直线的方程为，
又直线与椭圆相切与点，
联立整理可得
可得，即，
整理可得，
又，可得；
直线与椭圆相切与点，同理可得，
所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根，
因此，
再由可得，即；
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为.
题型三：交点弦过定点问题
【典例3-1】在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离.
(1)求M的轨迹方程；
(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值.
【解析】（1）因为动点到的距离等于到直线x=-1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，
又因为焦点为，所以轨迹方程为.
（2）（ⅰ）证明：设点，
设以为切点的切线方程为，
联立抛物线方程,可得，由，得，
所以切线AP：，同理切线BP：
点P在两条切线上，则，
由于均满足方程，故此为直线AB的方程，
由于垂直即，则，
所以直线AB的方程，恒过；
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，直线
联立直线AB与直线OP的方程得，
因此，时取等号.
即的最小值是.
【典例3-2】（2024·湖南·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.
(1)求E的方程；
(2)直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）
由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设的方程为，,
联立，得，则，
则，
所以，
解得，
故抛物线E的方程为：.
（2）设直线的方程为，，，
联立，得，
，即，
所以，，
令，当时，
可化为，则，
则在处的切线的方程为：，
即，
同理可得切线的方程为：，
联立与的方程，解得，
所以，则，满足，
则直线的方程为，
所以直线过定点，该定点坐标为.
【变式3-1】已知抛物线，直线与交于，两点，且．
(1)求的值；
(2)过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点；
(3)直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值．
【解析】（1）将代入中得，
故，解得；
（2）由（1）知抛物线，令，可得，
由求导可得，
设，
则直线的方程分别为，
将代入上面两个方程得，结合
整理得，
所以是方程的两根，所以，
而直线的方程为，
即，
即，
则直线过定点；
（3）由题意得，直线的斜率不为0，
设直线，
联立得，得，则，
联立，解得，故，即，
由，得，结合根与系数的关系可知，
从而，所以，
而，故，
由于在时为增函数，
因此当时，的面积取得最小值.
【变式3-2】已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点.
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值.
【解析】（1）由条件可知，
，则，
则椭圆的标准方程为.
（2）①设切点Ax1,y1，Bx2,y2，，又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程，
由条件，将点坐标代入直线PA的方程得，代入直线PB的方程得，
则A、B两点都在直线上，
则切点弦AB直线方程为，
直线AB过定点1,0.
②，设直线过定点为，
显然直线不可能水平，故设直线方程为：，
，
，
因为直线恒过椭圆内点，所以恒成立，
，，
，
令，
，
当，为减函数，
所以当时，最大值为.
题型四：交点弦定值问题
【典例4-1】（2024·河北·三模）已知椭圆：的离心率为，是椭圆的短轴的一个顶点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设圆：，过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为，．设两切线的斜率均存在，分别为，，问：是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值．
【解析】（1）由题意得，又，
解得，故椭圆方程为；
（2）是，，理由如下：
设，当时，此时两切线中的一条切线斜率不存在，舍去，
故，，
设过点与椭圆相切的直线为，
与联立得，
由得，，
整理得，
过点与椭圆相切的两直线斜率分别为，，
所以
【典例4-2】（2024·江苏·一模）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由右焦点为，得，
因为，所以，
若，则，得，无解，
若，则，得，所以，因此C的方程.
（2）设，易知过B且与C相切的直线斜率存在，
设为，
联立，消去y得，
由，得，
设两条切线BP，BQ的斜率分别为，，则，.
①设BF的斜率为，则，
因为，所以BP，BF，BQ的斜率成等差数列，
②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以PQ的中垂线为，
易得BP中点为，所以BP的中垂线为，
联立，解得，
所以，，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以PQ的中垂线为，
因为BP中点为，所以BP的中垂线为，
联立，解得，
要使，则，所以，即，
而，
所以，解得，，因此，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法3：要使，即或，
从而，又，所以，
因为，
所以，解得，，所以，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法4：要使，即或，
从而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面积法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，，
故存在符合题意的点B，使得，此时.
【变式4-1】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
（2）设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
（3）设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
【变式4-2】如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点，，记，问是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.
【解析】（1）设，，抛物线方程可变为，
所以，所以，，
直线的方程为，直线方程为，
则解得，，
又，所以直线的方程为，
化简得， 令，，
又， 所以，
所以直线AB与轴的交点坐标为.
（2）记，设点，
可得直线的方程为，
由可得，同理，
所以
，
所以，同理，
所以，
设，记，则，，，，，
于是，
所以
，
所以.
题型五：交点弦最值问题
【典例5-1】已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线E上，且到原点的距离为.过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，两条切线交于P点.
(1)证明：点P在一条定直线上；
(2)求的面积最小值．
【解析】（1）由题意可得:，解得：，所以抛物线的方程为；
由抛物线焦点，易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为．
由，消去y并整理，得．．
设，，则，．
对求导，得，∴直线的斜率，则直线AP的方程为，即．
同理得直线的方程为．
设点，联立直线与的方程，，即．
即点P在直线上；
（2）由，
点P到直线的距离，
得的面积，当且仅当时等号成立．
所以面积的最小值为16，此时直线l的方程为．
【典例5-2】已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.
【解析】（1）由题意
当且仅当最小时，最小.
设，又，
所以
记为，则，
在上单调递减；
在上单调递增.
时有最小值，此时，且，
所以最小值为.
（2）由已知，设
（Ⅰ），所以切线，
切线过，所以，
同理，所以直线过两点.
所以直线方程为过定点0,1.
（Ⅱ）联立，得，
，
，而，
轴，点横坐标，
，
即，且，当且仅当时成立.
综上的最小值为.
【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：.
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点.
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
题型六：交点弦范围问题
【典例6-1】设抛物线的焦点为F,Q为上一点．已知点的纵坐标为，且点到焦点的距离是．点为圆上的点，过点作拋物线的两条切线，切点分别为，记两切线的斜率分别为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的坐标为，求值；
(3)设直线与轴分别交于点，求的取值范围．
【解析】（1）将代入中，得，所以，
由题意可知，，
因为点到焦点的距离是，
所以,解得，
故抛物线的方程为.
（2）设切线方程为，
由，消去，得，
因为切线与抛物线有一个交点，
所以，得，
所以.
（3）设，设直线的方程为，
，消去，得，
因为直线与抛物线有一个交点，
，解得，
所以直线的方程为，令，则，，
同理直线的方程为,令，则，，
设代入，得，则直线的方程为，
由，消去，得，
所以，
所以，，
所以
又在圆上，
所以，即，
故.
综上可知，的取值范围为.
【典例6-2】如图，设抛物线的焦点为F，点P是半椭圆上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明：；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为，
直线PA方程为．
令，可知点M的坐标为．
由，消去x得．
因为直线与抛物线只有一个交点，
故，即．
因为点F的坐标为，
故，．
则．
因此，亦即．
（2）设直线PB的方程为．
由（1）可知，n满足方程．
故m，n是关于t的方程的两个不同的实根．
所以．
由（1）可知：，同理可得．
故，．
则，
因为，
所以．
因此，的取值范围是．
【变式6-1】已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
（i）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别为.求证：；
（ii）求的取值范围.
【解析】（1）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为.
（2）（i）设点，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
由已知，则.
又，∴.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则.
∴直线的方程为.
化简，可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又由（i）可知当直线，的斜率都存在时，；
易知当直线或斜率不存在时，也有.
∴为圆的直径，即.
∴.
又，∴.
∴的取值范围为.
【变式6-2】（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆为坐标原点，点在圆上运动，为过点的圆的切线，以为准线的拋物线恒过点，抛物线的焦点为，记焦点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过动点的两条直线均与曲线相切，切点分别为，且的斜率之积为，求四边形面积的取值范围．
【解析】（1）分别过作的垂线，垂足分别为，连接，
由抛物线的定义，可得，则．
因为，所以焦点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，
所以抛物线的焦点的轨迹方程为
（2）设点，过点的直线的斜率为，则方程为，
联立方程组，消得，，
整理得，
，即，所以点在方程为的圆上．
设点在椭圆上，则，则，
由知，满足：
则，即，故，
从而得切线的方程为
整理得，点满足方程，则，
同理可得
即点满足方程，所以的方程为．
消得，
，，
．
设，点到直线的距离为，
；
．
所以．
题型七：“筷子夹汤圆”问题
【典例7-1】（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过直线上任一点作该直线的垂线，，线段的中垂线与直线交于点．
(1)当在直线上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)过向圆引两条切线，与轨迹的另一个交点分别
①判断：直线与圆的位置关系，并说明理由；
②求周长的最小值．
【解析】（1）
由垂直平分线的性质可知：，
所以点P的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
则轨迹C的方程为；
（2）
①不妨设，
可得直线PA的方程为，
整理得，
因为该直线为圆的切线，所以
即
同理得，
所以是方程的两根，
此时，
易知直线AB的方程为即，
则点N到AB的距离，故直线AB与圆N相切；
②易知
而点到直线AB的距离，
所以，
不妨设，
记，
可得
易知，
当时，，
可得单调递增；
当时，，
当时，，可得单调递减；
当时，，可得单调递增，
又，所以的面积最小值为，
当且仅当或，即或时，等号成立，
又
故周长的最小值为．
【典例7-2】（2024·河南·三模）已知椭圆的左､右顶点分别为，上､下顶点分别为，记四边形的内切圆为，过上一点引圆的两条切线（切线斜率均存在且不为0），分别交于点（异于）.
(1)求直线与的斜率之积的值；
(2)记为坐标原点，试判断三点是否共线，并说明理由.
【解析】（1）由题意得，
故直线的方程为，即.
由对称性可知圆的圆心坐标为，
因为点到直线的距离为，
所以圆的半径为，所以圆，
设，则，
由题可设圆的切线方程为，
则圆心到切线的距离为，
整理得，
设过点所引的圆的两条切线的斜率分别为，
则，由，得，
代入式中，可得，
故直线与的斜率之积为；
（2）不妨设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，解得，
直线与椭圆的方程联立可得，
设，则，将代入，
可得，
由（1）可设直线的方程为，
设，同理可得，
因此，
设直线，则，解得，
将直线与椭圆联立，则，
设，则，
将代入，得，
设直线， 同理可得，
故，
所以P，O，Q三点共线．
【变式7-1】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）.
(1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点.
【解析】（1）由题意得椭圆的方程：，所以短半轴
所以，所以抛物线的方程是.
设点，则，
所以当时，线段长度取最小值.
（2）是抛物线上位于第一象限的点，
，且.
设，则：
直线，即，即.
直线，即.
由直线与圆相切得，即.
同理，由直线与圆相切得.
所以是方程的两个解，
.
代入方程得，
解得
直线恒过定点.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，四边形的内切圆的半径为，过椭圆上一点T引圆的两条切线（切线斜率存在且不为0），分别交椭圆于点P，Q．
(1)求椭圆的方程；
(2)试探究直线与的斜率之积是否为定值，并说明理由；
(3)记点O为坐标原点，求证：P，O，Q三点共线．
【解析】（1）由题意得，则直线的方程为．
由可得，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意得，
切线的斜率存在且不为0，并设为，取，则，
此时切线方程为，则．
整理得．
设过点引圆的两条切线斜率分别为，则①．
由得，
将其代入①式得，
故直线与的斜率之积为．
（3）设直线，则，解得．
将直线与椭圆联立，则．
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以.
设Px1,y1，则，
将代入可得．
设直线，则，整理得．
同理，将直线与椭圆联立，则．
设Qx2,y2，则，
将代入可得，
显然．
设直线，则，解得，
将直线与椭圆联立，则，
设Px1,y1，则，
将代入得．
设直线，则，解得．
将直线与椭圆联立，则．
设Qx2,y2，则．
将代入得，
故．
所以Px1,y1，Qx2,y2，，且，
所以P，O，Q三点共线．
【变式7-3】已知A，B为抛物线C：y2=2pxp>0上的两点，△OAB是边长为的等边三角形，其中O为坐标原点．
(1)求C的方程．
(2)过C的焦点F作圆M：的两条切线，．
（i）证明：，的斜率之积为定值．
（ii）若，与C分别交于点D，E和H，G，求的最小值．
【解析】（1）易知A，B关于x轴对称，连接AB，交x轴于点M，如图：
不妨设，则，
由题意得，得，
则，得，故C的方程为．
（2）（i）证明：由（1）得F1,0，易得，的斜率均不为0，
如图：
设：，：．
由，得，同理可得
则m，n可以看作方程的两根，易得，
所以，所以，的斜率之积为，是定值．
（ii）设，，，，
由，得，易得，则，
所以，同理可得，
由，得，则得，，
所以
，
当，即时，取得最小值，且最小值为.
1．已知点，分别为椭圆：（）的左、右顶点，点，直线交于点，，且是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线．记、、的斜率分别为、、，求证：．
【解析】（1）因为是等腰直角三角形，，则，，
设，由，得，
则，解得，即，
将代入椭圆方程，得，则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，且，
设过点的直线与椭圆相切，
联立，化简得，
由得，
点在直线上，得，代入上式得，
整理得，
因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根，
由韦达定理得，
由得，所以，
又，所以.
2．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.
(1)若，求的方程；
(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.
【解析】（1）由，得直线的斜率为，方程为，即，
由消去得：，设，
则，由，得，解得，
所以抛物线的方程是.
（2）由（1）知，抛物线的方程是，
直线不垂直于轴，设直线，显然，
由消去并整理得，，
则，
设抛物线在处的切线方程为，由消去得：
，由，得，
于是抛物线在处的切线方程为，
同理抛物线在处的切线方程为，设点，
由，，得，，
即点，于是直线的斜率分别为，
若存在直线，使得，则，
设直线的倾斜角分别为，则，
由，得或，因此，
即，则，
，
整理得，
化简得，令，
求导得，显然，
即恒成立，则函数在R上单调递增，而，
因此存在唯一，使得
所以存在唯一的直线，使得.
3．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
【解析】（1）∵，与抛物线相切于，两点，
设在左侧，则，，
由得，所以，
所以的斜率为，的斜率为，
此时方程：，即．
方程：，即，联立得；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，
由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即，
直线的斜率为，直线方程为，即，
所以且，，
设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以，
设外接圆方程为：过，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圆过定点；
（3）：，所以，，
所以，
到的距离为，所以，
设，，，由，
，当且仅当时等号成立．
所以，
令，，
在上单调递减，上单调递增，
所以，所以面积的最小值.
4．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为是椭圆在第一象限上的点，满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上的一点，作椭圆的两条切线，切点分别为，证明：.
【解析】（1）
由可得：F1-c,0，，，设Mx,y，
由可得：，则，解得，
代入椭圆的方程得，解得，故，
故椭圆的方程为.
（2）
证明：设，
设直线的方程为，即，
代入椭圆的方程整理得，，
由相切可知：，
化简整理得：.
由关于一元二次方程判别式：，
故方程有两个相等实根，由韦达定理得：，
故直线的方程为，整理得：.
同理直线的方程为.
而同时在直线上，故
故都在直线上，即直线的方程为.
当时，直线的斜率，
又，故，故
当时，易知直线的方程为，
又因为直线的方程为，显然，
综上所述，.
5．已知圆，直线．
(1)若直线l与圆O相切，求m的值；
(2)当时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最短时，求弦所在直线的方程．
【解析】（1）（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以，
解得；
（2）当时，直线，连接，则，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长，
故最短当且仅当最短，即时最短，
因为，所以，此时，
所以，
联立得，
故以为直径的圆的方程为，
因为弦即圆O与上述圆的公共弦，
所以弦所在直线方程为．
6．（2024·湖南·一模）已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
(1)求的标准方程．
(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．
【解析】（1）因为的渐近线方程为，所以，
则，所以，
因为，所以，得.
因为，所以，可得，
所以，
故的标准方程为.
（2）证明：（i）设，如下图所示：
设过点的切线的斜率为，则切线方程为，
即，所以，
即，
因此的斜率是上式中方程的两根，即.
又因为，所以
所以的斜率之积为定值，且定值为.
（ii）不妨设直线的斜率为，直线的斜率为，
联立，得.
因为，
所以，
则，同理可得，
所以.
因为，所以，所以，
得.
因为都在上，所以或（舍去），
所以存在定点，使得关于点对称.
7．左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，
所以，
设内切圆的半径为，点的坐标为，
则重心的坐标为，
因为，所以．
由面积可得，
即，结合，解得，
即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．
（2）设，
则切线的方程分别为，
因为点在两条切线上，所以，
故直线的方程为．
又因为点为直线上，
所以，即直线的方程可化为，
整理得，
由解得，
因此，直线过定点．
8．（2024·高三·西藏林芝·期末）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和上顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线上是否存在一点，过点作椭圆的两条切线分别切于点与点，点在以为直径的圆上，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意，直线经过点和，解得：，故椭圆的标准方程为：.
（2）
如图，假设直线上存在点，使点在以为直径的圆上.
不妨点设，依题意，,则两条切线斜率必存在，
分别设的斜率为，则，,
由消去，整理得：
因直线与椭圆相切，
故，
整理得：①
又由消去，可得：，
故由，整理得：②
由①②可得：为方程的两根，
因，故则，即，且
又由可得：即（*），
又点在直线上，则，即代入（*），解得：，
当时，，当时，，
即存在点和,
经检验它们都满足，
故存在点使点在以为直径的圆上，点坐标为或.
9．（2024·甘肃兰州·一模）已知圆过点，和，且圆与轴交于点，点是抛物线的焦点.
(1)求圆和抛物线的方程；
(2)过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，试判断直线与圆的另一个交点是否为定点，如果是，求出点的坐标；如果不是，说明理由．
【解析】（1）因为圆过点和，
所以圆心在直线上，设圆心为，半径为，
又圆过点，所以，，
则圆的方程为，
令，解得，所以F0,1，则，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）依题意直线的斜率必存在，不妨设为，则直线的方程为，
即，由整理得，
其中，解得或，则，，
设Ax1,y1，Bx2,y2，过，点的抛物线的切线的斜率分别为、，
又，所以，则、，
所以过点的切线方程为，即，
同理可得过点的切线方程为，
由，解得，即，
所以点在直线上，而点也在直线上，
所以直线与圆的另一个交点就是直线与圆的交点，
由，解得或，
所以直线与圆的另一个交点为定点.
10．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）∵椭圆的离心率为，
椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1，
∴，
解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：设切点为，则切线方程为，
∵两条切线都过上任意一点，
∴得到，
∴都在直线上，
又，
由，得，
即对任意的，直线始终经过定点．
∴动直线恒过一定点．
11．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点.
【解析】（1）由题可得，即，，得①，
依次连接四个顶点得到的图形的面积为，即，即②，
由①②可得，
椭圆的方程为：.
（2）设，，，
由题知，直线上一点作椭圆的两条切线斜率存在，
设过点且与椭圆相切的直线方程为：，
联立方程得，
，
整理得，即，
在椭圆上，，即，，
，即，
，解得，
过点且与椭圆相切的直线方程为：，
，即，
整理可得以为切点的椭圆的切线方程为，
同理，以为切点的椭圆的切线方程为，
又两切线均过点，故，且，
整理化简得，且，
点，均在直线上，
直线的方程为，直线过定点.
12．已知椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于、），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，证明直线经过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意得，，设，
则，，所以，
又，即，
则，可得．
又因为点在椭圆上，则．
由，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设点，，，
由题意可知切线，的斜率存在，
则切线的方程为，即，
切线的方程为，即，
即有，
则两切线、相交于点，
即有，
即点、满足方程，
即直线MN的方程为，经过定点．
13．已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．
(1)求抛物线的方程．
(2)证明直线过定点，并且求出定点坐标．
【解析】（1）由题意椭圆的上顶点为，
，∴，∴．
（2）法一（同构法）．
设点Mx1,y1，Nx2,y2，．
由，∴直线的斜率为，∴
即
同理可得
∵点，代入得
∵点，代入得
∴点、都满足关系
∴①
又点，∴，代入①得
故直线恒过定点1,4．
法二（配极原则）．
设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得
即
对比的系数可得
∴直线恒过定点1,4．
14．已知抛物线C：，直线l：交于，两点，当，时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)分别过点，作抛物线的切线，两条切线交于点，且，分别交轴于，两点，证明：的外接圆过定点．
【解析】（1）
当，时，直线，联立得，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）
设Ax1,y1，Bx2,y2，因为，所以，，，
联立并整理得，由韦达定理得，，
由得，从而，
所以直线即，令得，所以
同理直线，令得，所以
联立、：得，所以，
因为，，所以的外接圆圆心落在直线上，
由，知线段中点，，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立得，
所以外接圆圆心坐标为，
所以，
所以圆的方程为，
即，
令得，所以的外接圆过定点.
15．已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，右准线为直线，圆．
(1)若点A在圆上，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2)若直线上存在点，使为等腰三角形，求椭圆的离心率的取值范围；
(3)若点在（1）中的椭圆上，且过点可作圆的两条切线，切点分别为，求弦长的取值范围．
【解析】（1）对，令，则．
∴，
又∵，
∴，
椭圆的方程为：．
（2）由图知为等腰三角形，，
∴，，
又，∴，即椭圆离心率取值范围为12,1．
（3）解法一：连接交于，连接，
则由圆的几何性质知：为的中点，
，．
∴，
，
∴，设Px0,y0，则且，
∴，
∴，∴；
解法二：圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则四点共圆，且为直径，
故此圆的方程为，
即，
与相减得，
切点弦方程为，即，
点为椭圆上一点，设，
则点对应的极线（即切点弦）方程为，
由于圆的圆心为0,3，半径为，
弦心距，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
即，
故，
所以．
16．已知⊙C：（C为圆心）内部一点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
(1)求点M的轨迹方程；
(2)若点M的轨迹为曲线X，设为圆上任意一点，过作曲线X的两条切线，切点分别为，判断是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）
因为，点与圆周上动点Q连线AQ的中垂线交CQ于M，
连接，则，
其中，，
所以，
所以点M的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆，
所以，即，，
所以轨迹方程为.
（2）
如图所示，当平行于轴时，恰好平行于轴，，，；
当不平行于轴时，设，设过点的直线为，
联立，得，
令得，
化简得，设，则，
又，故，即.
综上所述，.
17．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知抛物线上任意一点满足的最小值为（为焦点）.
(1)求的方程；
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点，求证：；
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线.两条切线交于点，过任意作一条直线交抛物线于，交直线于点，则满足什么关系？并证明.
【解析】（1）设，则，
因为，所以的最小值为，即，得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）得F0,1，设，，，
则，同理，，
所以
，
又，即，
联立，得，由韦达定理得，
综上所述：.
（3）满足的关系为：.
由题意，直线，
联立，得，
由，得，所以抛物线在A处的切线斜率为，
所以抛物线在A处的切线为，
同理，在处的切线为，
联立可得，
设，
则
（*），
联立，得，则，
联立，得，
所以，
所以，即.
18．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
【解析】（1）当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，
设点，其中，则，可得，
且，，
则，可得，
由题意可知，，则，
当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，
即，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设点Ax1,y1、Bx2,y2，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，解得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，
所以，，则，即点，
因为点在轴左侧，则，即，
因为点在椭圆上，则，
设，其中，则，，
所以，
，
因为，则，则，
所以，，
因此，的取值范围是.
19．已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为．若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B点．
(1)求四边形面积的最小值：
(2)求直线过定点的坐标．
【解析】（1）由题设，令圆心且，与x轴相切，故半径，
由圆被直线截得的弦长为，而到直线的距离为，
所以（负值舍），
综上，圆，如下图示，且，
要使四边形面积最小，只需最小，即最小，而，
所以，只需最小，仅当直线时，最小为，
所以，则.
（2）设，，
由，则，
所以①，而②，
将②减去①得：，同理，
所以切点弦所在直线方程可表示为，
上述方程化为，则，
所以直线恒交于点，直线过定点的坐标为.